《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章定积分的应用_第三节定积分在物理学上的应用

第三节定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线运动所作的功 二、水压力 三、引力 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线运动所作的功 二、水压力 三、引力

第三节定积分在物理学上的应用 变力沿直线运动所作的功 设物体在连续变力Fx)作用下沿x轴从x=a移动 到x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功. 在[a,b]上任取子区间x,x+dx,在其上所作的 功元素为 dw=F(x)dx, xx+dxx 因此变力Fx)在区间[a,b1上所作的功为 W=['F(x)dx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线运动所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿x 轴从 x = a 移动 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功. a x x + d x b x 在其上所作的 功元素为 dW = F(x)dx , 因此变力F(x) 在区间 [a , b] 上所作的功为 ( )d .  = b a W F x x 到x = b, 在 [a , b] 上任取子区间 [x , x+dx]

第三节定积分在物理学上的应用 例1在一个带+g电荷所产生的电场作用下，一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功. 解 +1 a rr+dr b r 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 求电场力所作的功 . 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 例1 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下，一个单 第三节 定积分在物理学上的应用 解 求电场力所作的功 . 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 例1 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下，一个单 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场 , 2 r q F = k 则功的元素为 d d , 2 r r kq W = 所求功为  = b a r r kq W d 2 b a r kq       = − 1 ) . 1 1 ( a b = kq − 力为 +q O +1 a r r+dr b r +q O +1 a r r+dr b r

第三节定积分在物理学上的应用 例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从 点α处移动到点b处（如图），求移动过程中气体压力所 作的功. 解 Oax x+dx bx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 例2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 S O a x x + dx b x 第三节 定积分在物理学上的应用 解 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 例2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 S 建立坐标系如图. O a x x + dx b x 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 V k p = , x S k =

第三节定积分在物理学上的应用 例3一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为 3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 解 5m X x+dx 3m X 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 3m 5m O x x x + d x 例3 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m, 底圆半径为 第三节 定积分在物理学上的应用 解 3m 5m 3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 建立坐标系如图. O x x x + d x 在任一小区间 [x , x + dx] 上的一薄层水的重力为 g  π3 dx 2   这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW = 9 π g x dx , 故所求功为  = 5 0 W 9 π g x d x = 9 π g  2 2 x =112.5π g  (kJ)． 设水的密 0 度为  5 (kN)， 例3 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m, 底圆半径为

第三节定积分在物理学上的应用 二、水压力 设水的密度为p,深为h处的压强： p=gph. 当平板与水面平行时，平板一 侧所受的压力为P=pA,其中A 为平板面积. 当平板不与水面平行时，所受侧压力问题就需用积分 解决. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 二、水压力 设水的密度为 ，深为 h 处的压强: p = g  h . 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分 侧所受的压力为 P = pA ，其中 A 平板一 h A 为平板面积. 解决

第三节定积分在物理学上的应用 例4一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为 p的液体，求桶的一个端面所受的侧压力. 解 +dx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 例4 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 第三节 定积分在物理学上的应用 解  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 例4 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 . 3 2 3 R g = 建立坐标系如图. 所讨论的半圆的 2 2 y =  R − x (0  x  R). 利用对称性 , 侧压力元素  = R P 0 2g x R x dx 2 2  − 2 2 dP = 2 R − x g  x 端面所受侧压力为 dx , 方程为 O x y R x x+dx O x y R x x + d x

第三节定积分在物理学上的应用 三、引力 质量分别为m1,2的质点，相距r, m2 二者间的引力： 大小：F=k mm2 2 方向：沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 三、引力 质量分别为 的质点 , 相距 r , m1 m2 r 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决

第三节定积分在物理学上的应用 例5设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在 其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,试计 算该棒对质点的引力. 解 M a dFy-dF x+dx 1 x 2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 定积分在物理学上的应用 例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒，在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M，试计 算该棒对质点的引力. 第三节 定积分在物理学上的应用 解 例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒，在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M，试计 算该棒对质点的引力. M y 2 l 2 l − a O x x  d F d Fx Fy d x + d x 建立坐标系如图. 细棒上小段 [x, x + d x]对质点的引力大小为 , d F = k m dx 2 2 a + x 故铅直分力元素为 M y 2 l 2 l − a O x x  d F Fx d Fy d x + d x