《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章不定积分_第四节有理函数的积分

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第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例

第四节有理函数的积分 一、有理函数的积分 1.有理函数的定义 定义函数 R(x)= P(x) ax”+ax++aL(a,b≠0) e(x) bx"+b,xm1+.+b,m 称为有理函数，当n<m时，称为真分式，当n≥m时， 称为假分式 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 1. 有理函数的定义 定义 函数 ( 0) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 0 1  + + + + + + = = − − a b b x b x b a x a x a Q x P x R x m m m n n n   称为有理函数，当 n < m 时，称为真分式，当 n  m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和

第四节有理函数的积分 例如， 2x3-5x2+3 真分式 x4+x3-7x2+2x-8 2x4+x2+3 x2+1 假分式 2x4+x2+ 3=2x2-1+ 4 x2+1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 例如， , 7 2 8 2 5 3 4 3 2 3 2 + − + − − + x x x x x x , 1 2 3 2 4 2 + + + x x x 真分式 假分式 . 1 4 2 1 1 2 3 2 2 2 4 2 + = − + + + + x x x x x

第四节有理函数的积分 2.真分式的分解式 对于真分式 P(x) 如果分母可分解为两个多项式 2(x) 的乘积 Q(x)=2(x)22(x),且21x)与22)没有公因 式，则 P(x) P(x)P(x) e(x) e(x) Q2(x) 称之为把真分式化成部分分式之和.如果21x)或22(x) 还能再分解，则这一过程还可继续下去.最后有理函数 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 2. 真分式的分解式 对于真分式 , ( ) ( ) Q x P x 如果分母可分解为两个多项式 的乘积 ( ) ( ) ( ) , 1 2 Q x = Q x Q x 且 Q1 (x) 与 Q2 (x) 没有公因 式，则 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 Q x P x Q x P x Q x P x = + 称之为把真分式化成部分分式之和. 如果 Q1 (x) 或 Q2 (x) 还能再分解，则这一过程还可继续下去. 最后有理函数

第四节有理函数的积分 的分解式中只出现多项式、 P(x) B(x) 等 (x-a)、 (x2+px+g) 三类函数（其中p2-4q<0,P1心）为小于k次的多项式， P2x)为小于2l次的多项式) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 三类函数(其中 p 2 – 4q < 0 , P1 (x) 为小于 k 次的多项式， P2 (x) 为小于 2l 次的多项式). 的分解式中只出现多项式、 l x px q P x ( ) ( ) 2 2 + + k x a P x ( ) ( ) 1 − 、 等

第四节有理函数的积分 例1将下列真分式分解成部分分式之和： x+3 x+2 -:(2)5x+6 (3) (x-1)(x2+x+1) 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 第四节 有理函数的积分 有理函数的积分 解 例1 将下列真分式分解成部分分式之和： . ( 1)( 1) 2 ; (3) 5 6 3 ; (2) ( 1) 1 (1) 2 2 2 − + + + − + + − x x x x x x x x x (1) 直接拼凑 2 ( 1) 1 x x − 2 ( 1) ( 1) − − − = x x x x ( 1) 1 ( 1) 1 2 − − − = x x x ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 − − − − − = x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 2 x x x + − − − = 例1 将下列真分式分解成部分分式之和： . ( 1)( 1) 2 ; (3) 5 6 3 ; (2) ( 1) 1 (1) 2 2 2 − + + + − + + − x x x x x x x x x

第四节有理函数的积分 2求学女 解 例3求e+ x2+1 dx 解 例4求 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 第四节 有理函数的积分 有理函数的积分 解 例2 求 d . 1 2 3 4 x x x  − + 1 2 3 4 − + x x 1 2 3 − + = + x x x ( 1)( 1) 2 2 − + + + = + x x x x x 1 1 1 1 2 + + + − − = + x x x x x x x x d 1 2 3 4  − + x x x x x x x x d 1 1 d 1 1 d    2 + + + − − = + x x x x x x d 1 (2 1) 1 2 1 ln | 1| 2 2 2  + + + + = + − − 例2 求 d . 1 2 3 4 x x x  − + 第四节 有理函数的积分 解 例3 求 d . ( 1)( 1) 1 2 2 x x x x  − + + ( 1)( 1) 1 2 2 − + + x x x 2 2 ( 1)( 1) 1 − + + = x x x 2 1 1 ( +1) + + − = x Bx C x A 进一步分解 . 1 1 ( 1) 2 + + + + − = x C x B x A 上式分别令 x = -2 , 0 , 2，得方程组      + + = − − = + − = 9 3 5 1 3 3 5 A B C A B C A B C , 1. 2 1 , 2 1 A = B = C = − 例3 求 d . ( 1)( 1) 1 2 2 x x x x  − + + 第四节 有理函数的积分 解 例4 求 d . ( 1) 2 4 2 x x x  − + 可以用更简便的方法 令 t = x – 1 , 则 x x x d ( 1) 2 4 2  − + t t t d ( 1) 2 4 2  + + = t t t t d 1 2 3  2 3 4       = + + C t t t  +      = − + +2 3 1 1 1 . ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 2 3 C x x x +      − + − + − = − 例4 求 d . ( 1) 2 4 2 x x x  − +

第四节有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式的积分 由三角函数sinx,cosx及常数经过有限次四则运算 所构成的函数，称为三角函数有理式，记为 R(sinx,cosx). 例如， sin x 1+sin x sinx+cosx ’1+sinx+cosx’3+cosx 都是三角函数有理式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 由三角函数 sin x , cos x 及常数经过有限次四则运算 所构成的函数，称为三角函数有理式，记为 R(sin x , cos x) . 例如， x x x x x x x 3 cos 1 sin , 1 sin cos 1 , sin cos sin + + + + + 都是三角函数有理式. 1. 三角函数有理式的积分

第四节有理函数的积分 三角函数有理式的积分 R(sin x,cosx)dx 可通过 半角代换或称万能代换t=tanx: 转化为有理函数的积 2 分.因为sinx 2 sin cos号2tan 2t sim2+cos231+tan2绕 2 1+t2 2-sin co 2 COSx= 2 1-tan 1-t2 sin2g+cos2 1+tan2 1+t2, 2 dx= ∫R(sinx,cos.xXlx=∫R 2t 1-t2 2 dt 1+ 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 R(sin x,cos x)dx  可通过 半角代换或称万能代换 2 tan x t = 转化为有理函数的积 分. 因为 2 2 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin x x x x x + = 2 2 2 1 tan 2tan x x + = , 1 2 2 t t + = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos x x x x x + − = 2 2 2 2 1 tan 1 tan x x + − = , 1 1 2 2 t t + − = dx = d , 1 2 2 t + t d . 1 2 1 1 , 1 2 (sin ,cos )d 2 2 2 2 t t t t t t R x x x R +          + − +  =  

第四节有理函数的积分 例5求 1+smn x dx sin x(1+cosx) 解 dx 例6求」 cosx+sin x 解 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第四节 第四节 有理函数的积分 有理函数的积分 解 例5 求 d . sin (1 cos ) 1 sin x x x x  + + 令 , 2 tan x t = 则 d , 1 2 , d 1 1 , cos 1 2 sin 2 2 2 2 t t x t t x t t x + = + − = + = x x x x d sin (1 cos ) 1 sin  + + t t t t t t t t d 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 +          + − + + + + =  t t t d 1 2 2 1        = + + t t C t +        = + 2 + ln | | 2 2 1 2 . 2 ln tan 2 1 2 tan 2 tan 4 1 2 C x x x = + + + 例5 求 d . sin (1 cos ) 1 sin x x x x  + + 第四节 有理函数的积分 解 例6 求 令 , 2 tan x t = 则 d , 1 2 , d 1 1 , cos 1 2 sin 2 2 2 2 t t x t t x t t x + = + − = + = . cos sin d  x + x x  x + x x cos sin d  + − + + + = 2 2 2 2 1 1 1 2 d 1 2 t t t t t t  + − = 2 1 2 2d t t t t t t d (1 2) 1 (1 2) 1 2 2        − + − − − = 例6 求 . cos sin d  x + x x