《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章微分中值定理与导数的应用_第三节泰勒公式

第三节泰勒公式 一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

第三节泰勒公式 一、泰勒中值定理 1.问题的提出 在微分的应用中已经知道，当比-x很小时，有近 似计算公式 fx)≈fc)+f'co)c-xo). 在上述近似计算公式的右边是一个x-xo的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数.这种近似表达存在以下不足之处： 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 1. 问题的提出 一、泰勒中值定理 在微分的应用中已经知道，当 |x – x0 | 很小时，有近 似计算公式 f (x)  f (x0 ) + f (x0 )(x – x0 ) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：

第三节泰勒公式 fx)≈fc)+f'o)c-xo) (1)精度不高 其误差仅是关于x-的高阶无穷小； (2)不能估计误差 用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小. 因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候， 就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差 公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 f (x)  f (x0 ) + f (x0 )(x – x0 ) (1) 精度不高 其误差仅是关于 x – x0 的高阶无穷小； (2) 不能估计误差 用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小. 因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候， 就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差 公式

第三节泰勒公式 于是提出如下的问题： 设函数fw)在含有x的开区间内具有直到(n+1) 阶导数，试找出一个关于c-x)的n次多项式 pn(x)=a+a1(x-x)+a2(x-x)》2+.+an(x-x)' 来近似表达fx),要求 f(x)-pn(x)=o(x-x)”), If(x)-e,()=? 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 于是提出如下的问题： 设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0 ) 的 n 次多项式 n n n p (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 来近似表达 f (x)，要求 ( ) ( ) (( ) ) , 0 n n f x − p x = o x − x | f (x) − p (x)|= ? n

第三节泰勒公式 P(x)=ao+a(x-xo)+az(x-xo)+.+a,(x-x0)" 下面来求pmc).为了使pnc)与fc)在数值与性质 方面吻合得更好，进一步地要求pn心)还满足： p(xo)=f(x)(k=0,1,.,m). 按此要求，容易求得pnx)中的各个系数为 a4,=f,4=f）,a=7x.,a,=f） 于是所求多项式为 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 下面来求 pn (x) . 为了使 pn (x) 与 f (x) 在数值与性质 方面吻合得更好，进一步地要求 pn (x) 还满足： ( ) ( ) ( 0 ,1, , ). 0 ( ) 0 ( ) p x f x k n k k n = =  n n n p (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 按此要求，容易求得 pn (x) 中的各个系数为 ( ). ! 1 ( ) , , 2! 1 ( ) , ( ) , 0 ( ) 0 0 1 0 2 0 f x n a f x a f x a f x a n = =  =   n = 于是所求多项式为

第三节泰勒公式 P,(=,)+fx,x-x)+2f- t+化- n阶泰勒多项式 下面的定理将证明该多项式的确是所要找的n次多 项式. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 ( )( ) . ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x + + − = +  − +  −  n 阶泰勒多项式 下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式

第三节泰勒公式 2.泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理如果函数fx)在含有的某个开 区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对任一x∈ a,b),有fx)=f)+f'x-)+2f"(x-) (X-+R() 其中R)=0”且x-x叫，5介于与x之间 (n+1)月 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 2. 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x  (a , b) ，有 ( )( ) ( ). ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n + + − + = +  − +  −  其中 ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x   介于 x0 与 x 之间. 第三节 泰勒公式 证明 只需证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + = − = n n n n x x n f R x f x p x  ( 在x0与x之间) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n f x x R x n n n  Rn (x)的n+1阶导数 (x-x0 ) n+1 的n+1阶导数 由此可得证明方法是：对两个函数 Rn (x) 及 (x-x0 ) n+1 在以 x0 及 x 为端点的区间上应用柯西中值定理

第三节泰勒公式 几点说明 0)=f)+f'x-)+2f"6x-x) ++/(-)+R0. 称之为n阶泰勒公式. ②R,()=( (x-)1称为拉格朗日余项。 (n+1)月 当以pmn)近似表达fc)时的误差为R. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 几点说明 (1) ( )( ) ( ). ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n + + − + = +  − +  −  称之为 n 阶泰勒公式. (2) 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  称为拉格朗日余项. 当以 pn (x) 近似表达 f (x) 时的误差为 |Rn (x)|

第三节泰勒公式 (3)当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)=f(x)+f'(5(x-x). (4)因为 R(x) lim =limf(((x)=0, x→x0 所以 R(x)=o(x-x)”.佩亚诺Peano)型余项 泰勒公式也可写成 )=)+Xx]. n 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 (3) 当 n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式 ( ) ( ) ( )( ). 0 0 f x = f x + f   x − x (4) 因为 ( )( ) 0 , ( ) ( ) 0 ( 1) 0 lim lim 0 0 = − = − + → → f x x x x R x n x x n n x x  所以 ( ) [( ) ]. 0 n n R x = o x − x 佩亚诺(Peano)型余项 泰勒公式也可写成 ( ) [( ) ]. ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 n n n x x o x x n f x f x = f x + f  x x − x ++ − + −

第三节泰勒公式 (⑤)当x=0时，泰勒公式变成 /因=j0+f0x++f0r+fax0<0< n (n+)月 或f0)=f0+f0r++f0x+o 上两式均称为麦克劳林(Maclaurin)公式， 由此可得近似计算公式 f)*f0+f0x++f0x n M 其误差估计公式为|R(x)区 (n+1)月 x+1 上页 下预页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 泰勒公式 (5) 当 x0 = 0 时，泰勒公式变成 (0 1), ( 1)! ( ) ! (0) ( ) (0) (0) ( ) ( 1)   + = +  + + + +   n n n n x n f x x n f f x f f x  ( ). ! (0) ( ) (0) (0) ( ) n n n x o x n f 或 f x = f + f  x ++ + 上两式均称为麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此可得近似计算公式 , ! (0) ( ) (0) (0) ( ) n n x n f f x  f + f  x ++ 其误差估计公式为 | | . ( 1)! | ( )| +1 +  n n x n M R x