《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章函数与极限_第一节映射与函数

第一节映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 二、映射 三、函数 第一节 映射与函数 合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1. 集合的概念 定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合， 组成集合的事物称为元素，不含任何元素的集合称为 空集，记作 ， 一、集合 aM , aM. 含有有限个元素的集合称为有限集， 含有无穷多个元素的集合称为无限集．元素 a 属于集

第一节映射与函数 二、映射 1.映射的概念 定义设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应 规则f,使得Vx∈X,有唯一确定的y∈Y与之对应， 则称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y. X 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 1. 映射的概念 二、映射 定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应 规则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X → Y . x  X , y Y X f Y

第一节映射与函数 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x) 元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映 射f的定义域；Y的子集Rr=f(X)={f(xx∈X} 称为∫的值域 注意 ()映射的三要素一定义域，对应规则，值域： (2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 元素 y 称为元素x 在映射 f 下的像, 记作 y = f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像. 射 f 的定义域; Y 的子集 Rf = f (X ) = f (x) x  X  称为 f 的值域 . 注意 (1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. (2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 集合 X 称为映

第一节映射与函数 例1设f:R→R,对每个x∈R,fx)=x2.显然， f是一个映射，f的定义域D=R,值域Rr={以y20}, 值域R是R的一个真子集.对于R中的元素y,除 y=0外，它的原像不是唯一的.y=4的原像就有x=2, A x=-2两个. 像 (x) =x 原像 原像 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 x y f (x) = x 2 -2 2 4 原像 原像 像 O 例1 设 f : R→R，对每个x  R，f (x) = x 2 . f 是一个映射， f 的定义域 Df = R， 显然， 值域 Rf = { y| y  0 }， 值域 Rf 是 R 的一个真子集．对于 Rf 中的元素 y，除 y = 0外，它的原像不是唯一的．y = 4的原像就有 x = 2, x = -2两个．

第一节映射与函数 例2设X={化，y)|x2+y2=1},Y={c,0)川x≤1， f:X→Y,则对每个x,y)∈X,有唯一确定的c,0)∈Y 与之对应.显然f是一个映射，定义域D=X，,值域 R=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到x轴上的区间[-1,1]上. x,) (x,-y) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 例2 设 X = {(x , y) | x 2 + y 2 = 1},Y = {(x , 0) | |x|  1 }, 与之对应． f : X→Y，则对每个 (x , y)  X，有唯一确定的(x , 0)  Y 显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上． 1 1 (x , y) x (x , -y) x y -1 -1 O

第一节映射与函数 例3设f: →1，小.对每个x引 f=smx,则/是一个映射，定义域D,引 值域Rr=[-1,1]. 1 元 2 f(x)=sin x 元 2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 例3 设 f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域 值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． [ 1,1], 2 π , 2 π : → −       f − 对每个 , 2 π , 2 π       x − , 2 π , 2 π       Df = − x y f (x) = sin x -1 1 2 π − 2 O π

第一节映射与函数 对映射f:X→Y 若f(X)=Y,则称f为满射 X 满射 上面的例2是满射. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 对映射 若 f (X ) = Y , 则称 f 为满射. X Y f 满射 上面的 是满射．第一节 映射与函数 例2 设 X = {(x , y) | x 2 + y 2 = 1}，Y = {(x , 0) | x 1 }, 与之对应． f : X→Y，则对每个 (x , y)  X，有唯一确定的(x , 0)  Y 显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上． 1 1 (x , y) x (x , -y) x y -1 -1 O

第一节映射与函数 对映射f:X→Y 若：1,2∈X,x1≠x2,有 f()≠f(x2) 则称f为单射 X 单射 上面的例3是单射. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 若 有 则称 f 为单射. 对映射 X Y f 单射 上面的 是单射． 第一节 映射与函数 例3 设 f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域 值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． [ 1,1], 2 π , 2 π : → −       f − 对每个 , 2 π , 2 π       x − , 2 π , 2 π       Df = − x y f (x) = sin x -1 1 2 π − 2 O π

第一节映射与函数 对映射f:X→Y 若f既是满射又是单射，则称f为双射或一一映射. X 双射 上面的例3既是单射又是满射，故是双射. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 对映射 X Y f 双射 上面的 既是单射又是满射，故是双射． 第一节 映射与函数 例3 设 f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域 值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． [ 1,1], 2 π , 2 π : → −       f − 对每个 , 2 π , 2 π       x − , 2 π , 2 π       Df = − x y f (x) = sin x -1 1 2 π − 2 O π

第一节映射与函数 说明 映射又称为算子.在不同数学分支中有不同的惯用 名称.例如， X(丰☑) 一Y(数集) f称为X上的泛函 X(丰) f称为X上的变换 X(数集或点集) 一R f称为定义在X上的函数 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 映射与函数 X (数集或点集 ) 说明 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠  ) Y (数集) f f 称为X 上的泛函 X (≠  ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如