《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-7 常系数齐次线性微分方程

第七节 第十二章 常系数齐次钱性微多方程 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第十二章

二阶常系数齐次线性微分方程 y”+py'+9y=0(p,q为常数) 因为r为常数时，函数e'x和它的导数只差常数因子 所以令①的解为y=ex(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x =0 r2+pr+q=0 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 1.当p2-4q>0时，②有两个相异实根2，则微分 方程有两个线性无关的特解乃=e1x,y2=ex 因此方程的通解为 y=C]ex+C2ex HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q  时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=乃 =号，则微分方程有一个特解片=ex 设另特解y2=yu(x)=e1'u(x) (u(x)待定) 代入方程得： eR[(u"+2ru+r2u)+p(u'+nu)+qu]=0 ”+(27+p)4+(2+p1+q)u=0 注意)是特征方程的重根 u”=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex HIGH EDUCATION PRESS D◆0C8 机动目录上页下页返回结束

2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) 1 ( 2 ) + p u  + r u + qu  = 0 2 1 1 u  + r u  + r u 是特征方程的重根 u  = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( 2 ) ( ) 0 1 2 u  + r1 + p u  + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.当p2-4g<0时，特征方程有一对共轭复根 n=a+if,2=a-i阝 这时原方程有两个复数解 y=e()x=ex(cos Bx+isin Bx) y2=e(B)x=ex(cos Bx-isin Bx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解 方=(M+y2)=e2 cos Bx 2()=eax sinBx 因此原方程的通解为 y=ex (CI Cos Bx+C2 sin B x) HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

3. 当 4 0 2 p − q  时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 +  = e (cos x i sin x ) x    = + i x y e ( ) 2 −  = e (cos x i sin x ) x    = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x   = cos e x x   = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结： y”+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程r2+pr+q=0,特征根：1，乃 特征根 通 解 1≠2实根 y=Cien*+Czex 1=3=-号 y=(C+C2x)ex 1,2=0±iB y=ex(C Cos Bx+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

小结: y  + p y  + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广： ym+a1yn-)++an-1y+any=0(a均为常数〉 特征方程 r"+a r+.+an-ir+an =0 若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项 (C1+C2x+.+Cx1)e 若特征方程含k重复根r=α±iB,则其通解中必含 对应项 ex[(C1+C2x+.+Ckx)cos Bx+ +(D+Dx+.+Dx)sin Bx] (以上C,D,均为任意常数)》 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 0 ( ) 1 ( 1) 1 y (n) + a y n− ++ an− y  + an y = ak 均为常数 特征方程: 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r a r  a r a 推广: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求方程y”-2y'-3y=0的通解 解：特征方程r2-2r-3=0,特征根：1=-1，乃=3， 因此原方程的通解为y=C,ex+C2e3x d2s +S=0 例2.求解初值问题 dt ds S0= dz1=0-2 解：特征方程r2+2r+1=0有重根1=乃=-1 因此原方程的通解为s=(C1+C2t)e 利用初始条件得 C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)e1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求方程 y  − 2 y  − 3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1, 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t=0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1, r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 2 C2 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求方程y(4)-2y”+5y”=0的通解 解：特征方程r4-2r3+5r2=0,特征根 1=2=0,3.4=1±2i 因此原方程通解为 y=C1+C2x+e*(C3 cos2x+Ca sin2x) 例5。解方程yS)-y4)=0 解：特征方程r5-4=0,特征根： 1=2=3=r4=0,5=1 原方程通解：y=C+C2x+C3x2+C4x3+ se (不难看出，原方程有特解 1，x,x2,x3,e) HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

例4. 的通解. 解: 特征方程 2 5 0, 4 3 2 r − r + r = 特征根: r r 0, r 1 2 i 1 = 2 = 3 , 4 =  因此原方程通解为 y = C1 +C2 x + ( cos 2 sin 2 ) 3 4 e C x C x x + 例5. 0. (5) (4) 解方程 y − y = 解: 特征方程: 0, 5 4 r − r = 特征根 : 0, 1 r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = 原方程通解: y = C1 + C2 x + + 2 3 C x + 3 4 C x x C e5 (不难看出, 原方程有特解 1, , , , ) 2 3 x x x x e 推广 目录 上页 下页 返回 结束

例6.解方程 +=0(B>0 解：特征方程r4+B4=(c2+B2)2-2B22=0 即(r2+2Br+B(2-2Br+B2)=0 其根为 n号5-月1) 方程通解 w=e(Ga分x+Gm是) e2* 2 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束

( ) 2 0 2 2 2 2 2 r +  −  r = 例6. 0 ( 0 ). d d 4 4 4 +  w =   x w 解方程 解: 特征方程: 即 ( 2 )( 2 ) 0 2 2 2 2 r +  r +  r −  r +  = 其根为 (1 ), 2 1, 2 r = i  (1 ) 2 3 , 4 r = − i  方程通解 : x w e 2  = ) 2 sin 2 ( cos 1 2 C x C x   + x e 2  − + ) 2 sin 2 ( cos 3 4 C x C x   + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7.解方程y4)+2y”+y=0 解：特征方程：4+2r2+1=0 即(r2+1)2=0 特征根为1,2=±i,乃，4=士i 则方程通解： y=(C1+C3x)cosx+(C2+C4x)sinx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例7. 2 0 . (4) 解方程 y + y  + y = 解: 特征方程: 2 1 0 4 2 r + r + = ( 1 ) 0 2 2 即 r + = 特征根为 则方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束