《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-3 齐次方程

第三节 第十二章 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 》HIGH EDUCATION PRESS

齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第十二章

一、齐次方程 形如=白 的方程叫做齐次方程 dx 解法令u=义，则y=x, dy du =u+x dx dx du 代入原方程得 u+x-=o(u) dx 分离变量 dudx o(u)-u x du 两边积分，得 r dx p(u)- 积分后再用》代替u,便得原方程的通解 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x =  x x u u u d ( ) d =  − 两边积分, 得   = − x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.解微分方程y='+tanY 解：令u=y,则y=u+x让，代入原方程得 X u+xu'u+tanu coSu dx 分离变量 du= sinu 两边积分 sinu 得 In sinu =Inx +In C,sinu=Cx 故原方程的通解为sin'=Cx(C为任意常数) 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解微分方程 tan . x y x y y  = + 解: , x y 令u = 则y  = u + xu  , 代入原方程得 u + xu  = u + tan u 分离变量 x x u u u d d sin cos = 两边积分   = x x u u u d d sin cos 得 ln sin u = ln x + ln C , 即 sin u = C x 故原方程的通解为 C x x y sin = ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.解微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0 解：方程变形为少=2’-(y)2,令=上，则有 dxx、x u+xu'=2u-u2 分离变量 du dx u2-u x 即( 1-1)du=-d u-l u X 积分得 In u-1 =-Inx+In C, 即x(-1) u u 代回原变量得通解x(y-x)=Cy(C为任意常数) 》HIGH EDUCATION PRESS

例2. 解微分方程 解: 2 ( ) , d d 2 x y x y x y 方程变形为 = − , x y 令 u = 则有 2 u + xu  = 2u − u 分离变量 x x u u du d 2 = − − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 代回原变量得通解 即 C u x u = ( −1) x ( y − x ) = Cy (C 为任意常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性，试求反射镜面的形状， 解：设光源在坐标原点，取x轴平行于光线反射方向， 则反射镜面由曲线y=∫(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线MT, 由光的反射定律：入射角=反射角 可得∠OMA=∠OAM=C 从而 AO=OM 而AO=AP-OP=ycota-x= OM=x2+y 于是得微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

o y x 可得 OMA =  OAM =  例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y −  = 2 2 OM = x + y T M A P  y  取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP − OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y −  2 2 = x + y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用曲线的对称性，不妨设y>0,于是方程化为 d=x+1+( (齐次方程 dy v 1月 令=X则x=w, dx dv dy =v+y d =1+v2 dy 积分得n(+V1+2)=ny-nC 故有 y-2=1 C2 C (-2=1+2 代入yv=x,得y2=2C(x+C) (抛物线)》 故反射镜面为旋转抛物面， 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, , y x 令 v = 2 1 d d v y v y = + y v v y y x d d d d = + ln ( v 1 v ) ln y ln C 2 积分得 + + = − 故有 1 2 2 2 − = C y v C y 得 ) 2 2 ( 2 C y = C x + (抛物线) 2 2 ( v ) 1 v C y − = + 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束