《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-4 一阶线性微分方程

第四节 第十二章 一弥线性微分方程 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第十二章

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： +P(x)y=Q(x) dx 若Qx)≡0，称为齐次方程； 若Qx)丰0，称为非齐次方程 1.解齐次方程 +P@x)y=0 dx 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce∫P(xdx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x)  0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y C e − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.解非齐次方程 +P(x)y=O(x) dx 用常数变易法作变换(x)=x)e∫P(x)dx,则 ueJPax-Pxmefax+Pefra=g(x) du 即 =Q(x)eP(dx 两端积分得 =J()Pdx+C 故原方程的逼解y=ePa[e(cx)ePdx+C 即 y-Ce+eQ)edx 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解  − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则  −  P x x u e ( )d + P(x)  − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d    − +     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换  − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = +   ( ) d ( )d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.解方程 d-2y=x+1)2 dx x+l 解：先解 业-2义=0，即y-2 dx x+1 y x+l 积分得1my=21nx+1+lnC,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=u(x)(x+1)},则 y=4'(x+1)2+2u-(x+1) 代入非济次方程得W'=(x+1)为 解得 =++C 故原方程通解为=e++C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x  x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y  = u   x + + u  x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 + C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dy_ 例2.解方程 dx x+y 法一 解：先变形 号*再按一阶线性方程求解。 法二 令x+y=u则 y=u-x dy _du-1 dx dx 1 du u+l 代入原方程得 1 du dx u'dx 分离变量，再积分 u-In+1=x+C y-x+y-1=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 解方程 解: 先变形 d , d x x y y = + 再按一阶线性方程求解。 令 xyu + = 则 , 1 dy du y u x dx dx = − = − 代入原方程得 分离变量， 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法一 法二 1 1 1 , du du u dx u dx u + − = = 1 du dx u u = 再积分 +  

例3.有一电路如图所示，其中电源 电动势为E=Em sin1,电阻R和电 感L都是常量，求电流() 解：列方程.由回路电压定律 在闭合回路中，所有支路上的电压降为0 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为乙d t 因此有B-L Ri=0,即 di R. Em sin@t dt dt L L 初始条件：i,=0=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例3. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R K 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 t i L d d 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 初始条件: 0 i t = 0 = 由回路电压定律: 其中电源 感 L 都是常量, 求电流 机动 目录 上页 下页 返回 结束

R sin@t i=0=0 解方程 利用一阶线性方程解的公式可得 R2(Rsinot-oLcos1)+Ce E 由初始条件：0=0得C= @LEm R2+o21 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

∼ L E R K 解方程: L E t i L R t i m sin d d + = 0 i t = 0 =     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 由初始条件: 0 i t=0 = 得 +C 利用一阶线性方程解的公式可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此所求电流函数为 i(t)= @LEm R2+02D 必 R2+o22 (Rsinot-Lcos@t)） 解的意义：令p=arctan 则 R R E i(t)= @LEm sln(ot-p） R2+o21 VR2+o2D 暂态电流 稳态电流 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   ( sin cos ) 2 2 2 R t L t R L Em     − + + t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   sin( ) 2 2 2    − + + t R L Em 暂态电流 稳态电流 令 arctan ,则 R  L  = ∼ L E R K 因此所求电流函数为 解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、伯努利(Bernoulli)方程 伯努利方程的标准形式： +Pxy=0x)y”(n≠0，) dx 雅名布第一·伯努制 解法：以yn除方程两边，得 00) 令y则0-妙盟 dz +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)(线性方程 dx 求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解 HIGH EDUCATION PRESS 伯努利目录上页下页返回结束

二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n + = − − 令 , 1 n z y − = x y n y x z n d d (1 ) d d − 则 = − (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z + − = − 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求方程 dy+=a(Inx)y2 的通解 dx 解：令z=y,则方程变形为 dzz =-alnx dx x 其通解为 Ial)eC] -x[c-3(Inx)2] 将z=y代入，得原方程通解 yx[C-3(Ix)2 ]=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求方程 的通解. 解: 令 , −1 z = y 则方程变形为 a x x z x z ln d d − = − 其通解为 z = e 将 −1 z = y x x d 1    (−a ln x) e x x d 1  − dx + C    2 (ln ) 2 x a = x C − 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束