《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-2 洛必达法则

第二节 第三章 洛必达法则 一、 型未定式 二、 ”型未定式 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章

函数的性态 微分中值定理 1 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限1im (x) 0 或型) g(x) 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限1im f(x) g'(x) 将达.6于，4c HIGH EDUCATION PRESS ©-◆0C①8 洛必达目录上页下页返回结束

微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束

一、 0 型未定式 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x->a x-→d 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim xa F(x) 存在（或为0） lim f( lim "(x) xa F(x) x→aF'(x (洛必达法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,   定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

洛必达法则 li f(x) lim f'(x) x→aF(x) x→aF'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a，x→a，x→0，x→+0，x→-∞ 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 论2.若m 仍属9型，且()，F(x)满足定 0 理1条件，则 lim)=lim)=lim) F(x) F'(x) F"(x) HIGH EDUCATION PRESS 色C①8 定理1目录上页下页返回结束

推论1. 定理 1 中 x → a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

x3-3x+2 例1.求im 1x3-x2-x+1 0 解：原式=lm 3x2-3 13x2-2x-1 6x 3 lim x16x-2 2 注意：不是未定式不能用洛必达法则」 6x 6 lim x-→16x-2 ≠lm之=1 x→16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 =  x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一 arctan x 例2.求1im 型 0 x>+00 X 解：原式=lm 1+x X>+00 co 型 o∞ lim x→+01+x X→+00 HIGH EDUCATION PRESS ©色OC①8 机动目录上页下页返回结束

例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 型   机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、型未定式 00 定理2. 1)lim f(x)=lim F(x)=c0 x→d x→d 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)1im 存在（或为∞） x->a F(x) lim f() =limx） (洛必达法则 x->a F(x) xaF(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、   型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. ( ) ( ) lim F x f x x a   = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,  

说明：定理中x→a换为 x→a, x->a, X→0， X→+0， X一00 之一，条件2)作相应的修改，定理仍然成立 HIGH EDUCATION PRESS @色OC①8 定理2目录上页下页返回结束

说明: 定理中 x → a 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. , → + x a , → − x a x → , x → +, x → − 定理2 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求1im Inx (n>0) 型 x>+00 xn 解： 原式=lim lim -0 x→>+oonX n-l 00 例4.求 m (neZ*,入>0). 型 00 解： 原式=lim nxn-1 lim n(n-1)xn-2 X>+00 X>+∞ Reix n! lim 0 x→+0 A"ekx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求 解: 型   原式 1 1 lim − →+ = n x x nx n x nx 1 lim →+ = = 0 例4. 求 解： 原式 = 0 x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x   2 2 ( 1) lim − →+ − = n x x e n   ! lim →+ == lim ( 0). , n x x x n Z e + →+     型   机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)例3，例4表明x>+∞时， lnx,x"(n>0),ex(2>0) 后者比前者趋于+∞更快 2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.例如， 用洛必达法则 lim *x3 lim lim V1+x2 X→+00 x→+0/1+x X→+00 而 lim lim +1=1 x→+00 X→+00 HIGH EDUCATION PRESS D-C①8 机动目录上页下页返回结束

0 ( 0). ln lim =  →+  n x x n x 例3. 例4. lim = 0 (  0 ,  0). →+    n e x x n x 说明: 1) 例3 , 例4 表明 x → + 时, ln x, 后者比前者趋于 +  更快 . 例如, 而 (  0) x e 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束