《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分_2-2 函数的求导法则

第二为 第二章 画数的求导法则 一、 四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

思路： f'(x)lim f(x+△x)-f(x) 构造性定义) △x→0 △x 本节内容 求导法则 (C)y=0 (sin x)'= COSX 证明中利用了 (hxy=1 两个重要极限 其它基本初等 函数求导公式 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C ) = (sin x ) = (ln x ) = 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (①)[u(x)土v(x)]'=u'(x)士v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) [] u(x)v(x)-u(x)v'(x) ((x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题 学HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

()(u±v)=±v 证：设f(x)=(x)士v(x),则 f'(x)lim f(x+h列-f(x) 0 h lim Iu(x+h士v(x+h)]-[u(x)±v(x)] ->0 h lim u(x+h)-u(x) ±lm v(x+h)-v(x) h->0 h h→0 h =u(x)士v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如， 例如，(u+v-w)'=u'+v'-w HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束

此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v) = u  v  f (x) = u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 +  + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + −  → = u (x)  v (x) 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如

(2)(uw)='v+uv 证：设f(x)=u(x)v(x), 则有 -g1 2=lim4(x+h)r+)-4x)& h h>0 h +》8te+小++ ='(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立 推论：1）(Cu)=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=uvw+urw+uvw 3)(logax)'= xlna HIGH EDUCATION PRESS eC8 机动目录上页下页返回结束

(2) (uv) = u  v +uv  证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立.    + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h)   −  + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu  u  vw+ uv  w+ uvw  3) (loga x ) =        a x ln ln x ln a 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例1.y=Vx(x3-4cosx-sinl),求y'及y1x-1 解：y'=(Vx)'(x3-4cosx-sinl) +√x(x3-4cosx-sinl)/ 4co-sin)4sinx) y1-1=2(1-4cos1-snl)+(3+4sin1) 7,7 sin1-2cos1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解: + 4sin x (1 2 1 −sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y  = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y  x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x −  机动 目录 上页 下页 返回 结束

3) ()-u 证设)=得则有 u(x+h)u(x) fx)=1mf+)-/-1m v(x+h) v(x) h-→0 h>0 h 4+月-Mx)-M+- lim h n h->0 v(x+h)v(x) u(x)v(x)-u(x)v'(x) 故结论成立 v2(x) 推论： (C为常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

      + = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h  u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u  −  =  证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x − u x v  x = 推论: ( ) 2 v Cv v C −  =  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例2.求证(tanx'=sec2x,(cscx)=-cscxcotx. 证 () (sinx)'cosx-sinx(cosx) cos-x cosx +sin-x sec2 x Cos x (csex=L）-二6ny -COSX sin x sinx sin-x 三一 cscxcot x 类似可证：(cotx)}=-csc2x,( secx)'=secxtanx. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(csc x) =        sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证:         = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x  = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=fy)的反函数，fy)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]吖≠0 或 dy=- d x d v 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 y=f(G+A)-f()≠0，g=1 △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y0,因此 V器- △y→0 △x △ f( HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( ) 1 1 ( ) ' '( ) f x f y − = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 1 y f x x f y ( ) ( ) , − 设 = = 为 的反函数 f y( ) 在 且 [ ( )] 0 f y   d d = x y 或 x  0, 1 1 y f x x f x ( ) ( ) − −  = +  −  0, =    x y y x   x → 0时必有y → 0, ( ) 1 0 ( ) ' lim x y f x x −  →  =  lim  →0 = y y x   y x d d = 1 1 f y '( ) 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求反三角函数及指数函数的导数 解)设y=csn,则x=sny,J(受》 .∴，C0sy>0,则 (arcsin x)' (sin y)' cosy 1-sin2 y 1-x 利用 1 π (arccosx)=- arccosx= arcsinx /1-x 2 类似可求得 (arctan x)'= 1+x2 (arccotx)=- 1+x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 (   y  − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = −  利用  cos y  0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束