《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限_D1习题课

第一章 习数裸 岛教与故限 一、 函数 二 连续与间断 三、极限 HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第一章

函数 1.函数的概念 定义：设DR,函数为特殊的映射 f:D f(D)CR 定义域 值域 其中f(D)={yy=f(x),xED} 图形： C={(c,y)y=f(x),x∈D} =f(x (一般为曲线) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数的特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 3.反函数 设函数f:D→f(D)为单射，反函数为其逆映射 f1:f(D)→D 4. 复合函数 给定函数链f:D1→f(D) g:D→g(D)cD 则复合函数为f。g:D→f[g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f  g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设函数f(x)= 3x+1,x<1 求fLf(x】 x, x≥1 - 3f(x)+1, f(x)<1 x<0 f(x)≥1 3(3x+1)+1 9x+4,x<0 3x+1,0≤x<1 x≥1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( )     +  = x x x x f x    f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x  0     = 9x + 4 , x  0 3(3x +1) +1 0  x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1求f(x) 解：利用函数表示与变量字母的无关的特性 令1=，即x=亡，代入原方程得 f()+f)=2,即f)+/(w)=2 令己=分，即x=,代入上式得 f)+/)=20,即安)+f=2 11 画线三式联立>f(x)=x+ 1一X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t − = , 1 1 t x − = 代入原方程得 , 1 1 1 u u x − − = 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.下列各组函数是否相同？为什么？ (1)f(x)=cos(2arccosx)(x)=2x2-1,xE[-1,1] 相同 @-{日a与o-e*x-ia-可 相同 =设，8与=V 相同 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? (1) f (x) = cos(2arccos x) ( ) 2 1, [ 1,1] 2 与 x = x − x −      = a x a x x a f x , , (2) ( )   2 ( ) 2 1 与(x) = a + x − a − x      = , 0 0, 0 (3) ( ) x x x f x 与(x) = f [ f (x)] 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什么？ 1 (1) y= 不是 sin x-] (2)y=max{sinx,cosx},x∈[0，z] 是 (3)y=arcsinu,u=2+x2 不是 COSx, 0≤x≤晋 提示：(2) sinx, <x≤经 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2   y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0  cos x,  x  4 2   sin x,  x  是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.下列函数是否为初等函数？为什么？ =x ee)-{8 ，空 x≠0 ⊙-{话313 x-1 x≠】 -8-.eR 以上各函数都是初等函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

   +  −  = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x     −  = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x      = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶     −  = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x  0 x  1 xR 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?    −   = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4设f)=e,/ox=1-x,且≥0，求) 及其定义域 s脚e-a5求 x≥8 6.设fsmx+1)）=csc2x-cos2x,求fx) sin x 4.解rfx)=e/Lo6=eiw 由 e(w)=1-x 得 p(x)=vIn(1-x),xE(-00,0] HIGH EDUCATION PRESS O◆0C08 机动目录上页下页返回结束

4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x  x  且 求 (x) 及其定义域 . 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x  (x)  (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.巴知/ x-3, x≥8 = lf[f(x+5)],x<8 ,求f(5) 解：f(5)=fLf10]=f(10-3)=f(7)=f[f12)] =f(12-3)=f(9)=6 6.设f6mx+1）=csc2x-cos2x,求f) si x 解：f八nx+)=+sm2x-1 =snx+L)2-3 sinx .f(x)=x2-3 HIGH EDUCATION PRESS 凯动目录上页下页返回结束

= f[ ] 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x  (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2  f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束