《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型 §5.2方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值与特征向量的概念 二、方阵的特征值与特征向量的性质 三、 方阵的特征值与特征向量的求法

第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念 二、方阵的特征值与特征向量的性质 三、方阵的特征值与特征向量的求法

第五章相似矩阵与二次型 、方阵的特征值与特征向量的概念 定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数2和非零向 量x,使得Ax=x成立，则称数2为方阵A的特征 值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量. 说明：1.一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2.阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A-入E)x=0有非零解的入值，即满足方程A-2E =0的几都是矩阵A的特征值

第五章 相似矩阵与二次型 5.2.1 , . A n x Ax x A x A     = 设 是 阶矩阵，若存在实数 和非零向 量 使得 成立，则称数 为方阵 的 非零向量 称为 的对应于特 特 征值 的 征 值， 特 定 征向量 义 1.一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2. , ( ) 0 , 0 . n A A E x A E A     − = − = 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 有非零解的 值 即满足方程 的 都是矩阵 的特征值 一、方阵的特征值与特征向量的概念 说明：

第五章相似矩阵与二次型 由定义5.2.1得A-E=0 12 2-九 =0 。 Ani An2 称以2为未知数的一元次方程A-E=0 为方阵4的特征方程， 记f(2)=A-2E,它是的次多项式， 称其为方阵的特征多项式

第五章 相似矩阵与二次型 由定义5.2.1 0 得 A E − =  11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − −  = − 0 , n A E A 称以  为未知数的一元 次方程 − = 为方阵 的特征方程 ( ) , , . A f A E n A 记    = − 它是 的 次多项式 称其为方阵 的特征多项式

第五章相似矩阵与二次型 3.设n阶方阵A=(a)的特征值为2，乙2，.， 2n,则有 (1)+22+.+2n=411+422+.+4m; (2)212.2n=A. 通常称a1+a2++anm为矩阵4的迹，记作Tr(A),即 Tr(A)=1+2+.+0mm

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 3. ( ) , , , , ij n n A a    设 阶方阵 = 的特征值为 则有 (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A 11 22 11 22 Tr( ), Tr( ) nn nn a a a A A A a a a + + + = + + + 通常称 为矩阵 的迹，记作 即

第五章相似矩阵与二次型 例1求方阵A= 的特征值和特征向量 3 解：A的特征多项式为 14-E=3-13 3-2-1 =(4-2)2-) →A的特征值为2=2，入2=4 下边求特征向量（解(A-2E)X=O) 对21=2， -

第五章 相似矩阵与二次型    − − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 1 1 3 A   − =     − 例 求方阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2  = = A的特征值为  2, 4 2, 对1 = 下边求特征向量( ) 解( ) A E X O − = 2 1 2 3 2 1 ( 2 ) 1 3 2 x A E x x   − −   − =      − −   解：A的特征多项式为

第五章相似矩阵与二次型 →基础解系：p=(1,)', ∴p=(1,1)'为属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为p1(k≠0)； 同理可求属于2，=4的一个特征向量为p,=(-1,1)', 其全部特征向量为p2(k≠0)

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 同理可求属于 = = − 4 ( 1 1) , 的一个特征向量为 p ，  ( 0). 其全部特征向量为kp2 k  0 ; 其全部特征向量为kp1 （k  ） 1  = 基础解系: (1 1) p ，  ， 1  = p (1, 1) 2 , 为属于特征值 的一个特征向量 1 2 1 1 1 1 x x   −   =      −   1 2 1 1 0 0 0 x x   −     =      即

第五章相似矩阵与二次型 求特征值与特征向量的步骤： 1.解A-2E=0求出的值，即求特征值； 2.对每一个几，求方程组 (A-λE)x=O 的基础解系， 即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量， n-R(A-2E个

第五章 相似矩阵与二次型 1. 0 , 解 A E − =   求出 的值 即求特征值； 2. , ( ) A E O x  − =  对每一个 求方程组 的基础解系， 求特征值与特征向量的步骤： n –R(A–λE)个 即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量

第五章相似矩阵与二次型 -1 例2求矩阵A= -4 3 0 的特征值和特征向量， 1 02 解 A的特征多项式为 -1-入 1 0 A-E到= -43-元 0 =(2-)1-2)2, 1 2- 0 所以A的特征值为1=2,2=3=1

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 0 2 . 4 3 0 1 0 2 A   −   = −       例 求矩阵 的特征值和特征向量 解 2 1 1 0 4 3 0 (2 )(1 ) , 1 0 2 A A E       − − − = − − = − − − 的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 =

第五章相似矩阵与二次型 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由 「-310 100 A-2E= -4 10 01 0 10 0000 0 得基础解系p1= 1 所以仰，(k≠0)是对应于兄=2的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E ,     −     − = −             1 0 , 0 1 p     =       得基础解系 1 1 所以kp k( 0) 2 .  = 是对应于 的全部特征值 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

第五章相似矩阵与二次型 当2=23=1时，解方程(A-E)x=0.由 -2 0 0 1 A-E= -4 20- 01 1 01 00 0 -1 得基础解系 2= - 所以仰，(k≠0)是对应于，=人=1的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 2 1 2 , 1 p   −   = −       得基础解系 2 2 3 所以kp k( 0) 1 .  = = 是对应于  的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = −            