《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 §2.3 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 3、 线性相关性的判定 三、 向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量空间的基与向量的坐标 六、小结

第二章 矩阵与向量 六、小结 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关性 五、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组

第二章矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 定义2.3.1对于向量%1，am和a, 若存在个数 21,2,.,m，使得： a=1a1+2g2+.+九mncm 则称是1，必2，m的线性组合，几1,2·，m称为组 合系数，或称向量a能用向量组，2，m线性表示 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m 和，若存在m个数 1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为组 合系数,或称向量能用向量组1 ,2 ,.,m线性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1,.,0) 6n=(0,0,.,1) a=(41,42,an)是任意一个n维向量，由于 0=4181+0282+.+0n8m 所以a是61,82，.，8的线性组合. 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组. 同维数的向量所组成的集合称为向量组

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

第二章矩阵与向量 例2证明向量a=(0,4,2)是向量=(1,2,3)， 02=(2,3,1),a3=(3,1,2)的线性组合，并将 用a,a2,线性表示。 解：先假定=1+2242+即 0,4,2)=2(1,2,3)+元2(2,3,1)+2(3,1,2) =(2+222+323,22+322+3,32+22+223) 因此 21+222+32=0, 22+3元2+九3=4， 32+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 1 2 3 2 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 2 3 1=-18≠0， 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 2=1,九2=1,23=-1 于是a可表示为C=01+02一03

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3

第二章矩阵与向量 般地， am与a必1，am必为且仅为一下三种情 形之一： 10a可由%，必，m的线性表示，且表达式唯一； 20a可由，2，m的线性表示，但表达式不唯一； 30a不能由a1,2,0m的线性表示。 对于元线性方程组(2-8)若以表示其中第个未知 量的系数构成的m维列向量，即 j Azj i=1,2,.,n

第二章 矩阵与向量 一般地， 与1 ,2 ,., m必为且仅为一下三种情 形之一： 1 0 可由1 ,2 ,.,m的线性表示，且表达式唯一； 2 0可由1 ,2 ,.,m的线性表示，但表达式不唯一； 3 0不能由1 ,2 ,.,m的线性表示. 对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a        = =        

第二章矩阵与向量 且令 6 B= b2 b. 那么，方程组(2-8)可以表示为 X11+X2C2+.+Xn0n=B 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量%1,2，Cnm线性表示.当能由向量 41,2,心m线性表示且表达式唯一时，方程组(2-8) 有解且解唯一

第二章 矩阵与向量 1 2 m b b b        =        且令 那么，方程组(2-8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量1 ,2 ,., m线性表示.当能由向量 1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一

第二章矩阵与向量 定义2.3.2设n维向量组 01,0C2,0m, 如果存在不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1a1+k22+.+kmCm=0 则称向量组1,2，Cm线性相关，否则称它们线性无关. 注：a1,2,an线性无关，就是 k141+k22+.+kmCm=0k1=k2=.=km=0

第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性无关

第二章矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论： ()只有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是a0; (2)如果向量组1,2，nm中有某两个向量=()， 那么向量组1,2，mn线性相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关. (在一个向量组1,2，m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做1,2，Qm的部分向量组，简称部分组.) (4④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的

第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=j (i≠j) ， 那么向量组1 ,2 ,.,m线性相关; (3)含有零向量的向量组必线性相关. (在一个向量组1 ,2 ,.,m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做1 ,2 ,.,m的部分向量组，简称部分组. ) (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的

第二章矩阵与向量 例3讨论维向量c62,6的线性相关性， 解：设n个数k,k,kn,使得 k1E1+k262+.+knEn=0 即 (k1,k2,kn)=(0,0,0)成立， 则必有k=0,k2=0,kn=0, 所以81,62，8n线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 , , . n n 例 讨论 维向量   ，  的线性相关性 1 2 1 1 2 2 , , , , 0 n n n n k k k k k k     + ++ = 解：设 个数 使得 1 2 ( , , , ) (0,0, ,0) n 即 k k k  = 成立， 1 2 1 2 0, 0, , 0 , , , . n n k k k    = =  =  则必有 ， 所以 线性无关