《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.5隐函数的求导公式

第五节 第九章 隐画教的求导公式 一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导公式

本节讨论 1)方程在什么条件下才能确定隐函数 例如，方程x2+√少+C=0 当C0时，不能确定隐函数， 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(xo,yo的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(xo,o)=0: ③F,(x0,0)≠0 则方程F(x,y)=0在点x,的某邻域内可唯一确定一个 连续函数y=f(x),满足条件yo=f(x,),并有连续 导数 dy (隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： HIGH EDUCATION PRESS 是上页下页返回结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 连续函数 y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0  ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数

设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 oF,oF dy 0 Ox 6 Oy dx 在(x0,y%)的某邻域内F,≠0 dy=- d F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两边对 x 求导 y x F F x y = − d d  0 在 的某邻域内 Fy 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数： F 1 Ex dy dr2 FxxFy-Fy Fx FF3 FxEy2-2ExExEy+FxyEx2 F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, = 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F − F F = − 3 2 2 2 y xx y xy x y y y x F F F − F F F + F F = − y x F F − ( ) y x F F y −   + ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F − − − 二阶导数 : ( ) y x F F x −   x y x x y d d 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证方程x2+y2-1=0 在点(0,1)某邻域 可确定一个导数连续的隐函数y=∫(x),并求 dy d2y xx=0’dx2x=0 解：令F(x,y)=x2+y2-1 则 ①F=2x, F,=2y 连续， ②F(0,1)=0, ③F,(0,1)=1≠0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 验证方程 在点(0,1)某邻域 可确定一个导数连续的隐函数 d 0 d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解: 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − F(0,1) 0, = F 2x, x = 连续 , 由 定理1 可知, (0,1) 1 F y =  0 ① 导的隐函数 则 F y y = 2 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求

Fx 2x koy-i 0 d'y dx2x=0 P-xy' X=0 y=1 y'=0 =-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

d 0 d x x = y = 0 = − F x F y x = − 2 y 2x x = 0, y =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 2 2 x x = y ( ) d d y x x = − 2 y y − xy  = − = −1 0 1 0  = = = y y x

定理2.若函数F(x,y,满足 ①在点P(xo,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x0,0,20)=0 ③F(x,0,20)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足20=∫(x0,y0), 并有连续偏导数 8x F’ayF 定理证明从略，仅就求导公式推导如下 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2 . 若函数 F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z = −   = −   , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0  ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,y,f(x,y))=0 两边对x求偏导 Fx+F: =0 在(xo,yo,20)的某邻域内F≠0 Ox F F 同样可得 F HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

F(x, y , f (x, y ) )  0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z = −   z y F F y z = −   同样可得 则 + Fz x z    0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设x2+y2+2-4z=0,求 解法1利用隐函数求导 2x+2z -0 8x Ox 2-z 再对x求导 22 2 2+2( 3+28 -4 0r30 a22 2-2 (2-z) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 设 4 0, 2 2 2 x + y + z − z = 解法1 利用隐函数求导 2 2 4 = 0   −   + x z x z x z z x x z − =   2 2+ 4 0 2 2 =   − x z 2 1 ( ) x z   + . 2 2 x z   求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导