《高等数学》课程教学资源（PPT课件）10.3三重积分

第三节 第十章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,z)∈C,求分布在Q内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=之4(5n5a △Vg k= (5k,7k,5) HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , )  k k  k k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.设f(x,y,z),(x,y,)∈2，若对2作任意分割 △%(k=1,2,.,n),任意取点(5，k,5k)∈△vk,下列 积和式”极 “乘 m∑f5,nk5)A起00/，x 记作 λ-→ k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,2)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7，)∈①，使得 。fx,x)dy=f5n,5)y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)  f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 (,, ), 使得  f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 方法 方法1.投影法（先一后二”） 方法2.截面法（先二后一”）》 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法1.投影法(（“先一后二”) z=22(x,y) 刀 三重积分为 z=z(xjy) ∬2fx,y)dv d-xd dxdy 昨ndxd时fxy: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y =  D D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” )        x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 三重积分为  f (x, y,z)d v        ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D  z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2.截面法(“先二后一”) (x,y)∈D b a≤z≤b 以D.为底，dz为高的积分为 (∬nfcx,y,a)dxdy)d 三重积分为 Jjnfx,y,a)dw dxd)d= jd可o,fcx,ydd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的积分为 x y z 三重积分为 (  = b a DZ f (x, y,z)d xd y  DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz )dz 记作  机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法3.三次积分法 1(x,)≤z≤22(x,y) 设区域Ω： en:G a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得 j∬fxy)dv =ad 投影法 。xdv-ndd2yx= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

投影法 方法3. 三次积分法 设区域  : 利用投影法结果 ,         a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z  z x y 把二重积分化成二次积分即得:   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z  ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z  ( ) ( ) 2 1 d y x y x y  = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” 。/)dv-dd 方法2.“先二后一” dv-dfxd 方法3.“三次积分” oadv=aray f(x,y,z)dz 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 HIGH EDUCATION PRESS 0C8 机动目录上页下页返回结束

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分”   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z   = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算三重积分J川。xdxdyd:,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+2=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：20≤y≤(1-x) 0≤x≤1 xdxdyd= -dx dy-dz -xdxa-x-2ydy -16(x-2x2+x3dx= 48 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 下页返回结束

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   xd xd y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算三重积分川。z2 dxdydz, 其中2： 3 b3 21 62 21 -C≤z≤C 解： Ω： sl-2 用"先二后一” j川子dxdydz=-∫2 a-xdy -2a(1-)d>=I5abe 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

x y 例2. 计算三重积分 z 解:  :  =  z d xd y d z 2 − = − c c z c z 2 z ab(1 )d 2 2 2  − c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz +  − Dz d xd y − c c z d z 2 3 15 4 =  abc a b c 用“先二后一 ” Dz z 机动 目录 上页 下页 返回 结束