《线性代数》课程学习指导（C）第三章 矩阵的运算_典型例题

第三章矩阵的运算 典型例题 例3-1设矩阵 入10 01 002 求A”,其中n为正整数。 10 200 010 解：设A=0入1 010 + 001 =1E+B 00元 00 000 010 、2 (001 B2= 001 000 000 000 001 010 ∴.B3= 000 001 =0, 000 000 ∴.B=0 (k≥3)， 1E与B可交换，由二项式定理 A=(E+A小=2C:(Er.B =(aE+nBr·m-.BaEy 2 ”00 0nm-0 00 n(n-1)n-2 nn-2 2. 02"0+00n- 00 002” 000 0 00 评注：本题是将矩阵A分解成两个可交换的矩阵的和，且两个新 矩阵的次幂较容易求得，利用二项式定理即可得

第三章 矩阵的运算 典型例题 例 3-1 设矩阵 A               1 0 0 1 0 0 ， 求 n A ，其中 n 为正整数 。 解：设 A               1 0 0 1 0 0 =              0 0 0 0 0 0 +           0 1 0 0 0 1 0 0 0 =  E +B ∵ 2 B = 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0           =           0 0 1 0 0 0 0 0 0 , ∴ 3 B =           0 0 1 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 1 0 0 0 =0, ∴ k B =0 （k ≥3）, ∵  E 与 B 可交换,∴由二项式定理 n A =  n E  A =   n i i n i i Cn E  B     0 =   n E +n   n1 E ·B+   2 n n 1 · 2 B   n2 E =           n n n    0 0 0 0 0 0 +             0 0 0 0 0 0 0 1 1 n n n n   +                   0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n n n 2  =                    n n n n n n n n n n       1 2 2 1 0 0 0 评注：本题是将矩阵 A 分解成两个可交换的矩阵的和，且两个新 矩阵的 n 次幂较容易求得，利用二项式定理即可得

例3-2已知 (1-1-1-10 A= -11-1-1 -1-11-1 -1-1-11 求A 40001 餐“A本8合82E 0004 A=A·F22E·作22·A ∴.当n为偶数时，A”=(4乍=E下=2”E 当n为奇数时，4=4月=bEj=2”E 评注：此题无法将矩阵A如上例1般分解，因此采用直接计算的 方法求得递推公式， 例3-3设f)=ax”+ax++a,x+a。为一实数范围内的多 项式，A为一个n阶矩阵，称f(4)=anA严+anA-+.+A+aE为矩 阵A的多项式，求下列(： (110 (1)A=011,fx)=x3-3x2+3x-1; 001 x-2x0| 111 解(1)f)=x2-3x2+3x-1=(x-1

例 3-2 已知 A =                           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 求 n A . 解 ∵ 2 A =A·A=               0 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 0 = 2 2 E ∴ 3 A = 2 A ·A= 2 2 E·A= 2 2 ·A ∴当 n 为偶数时， A A   E E n n n n   2   2  2 2 2 2 当 n 为奇数时， A A   E E n n n n   2   2  2 2 2 2 评注：此题无法将矩阵 A 如上例 1 般分解，因此采用直接计算的 方法求得递推公式. 例 3-3 设   1 0 1 f x a x a 1 x a x a n n n  n        为一实数范围内的多 项式， A 为一个 n 阶矩阵，称 f A a A a A A a E n n n n 0 1   1       为矩 阵 A 的多项式，求下列 f A ： （1） A=           0 0 1 0 1 1 1 1 0 ,   3 3 1 3 2 f x  x  x  x  ； （2） A=         3 2 0 1 ,   1 1 1 0 1 3 2 0     x x x f x . 解 （1）∵   3 3 1 3 2 f x  x  x  x  =   3 x 1

0103 .f40=(4-Ey=001=0 (000 -2x0 (2)f)=0x-1-3=x2-3x-4 111 ∴.f(A0=A-3A-4E 8-8-69 s 例3-4设A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，证明：4=4 证明设A=ay) .AA'=4.E, ∴4A=4E=4=4, 当A≠0时，=4-， 当4=0时，则4=0，（证明，反证法如下） 若4川≠0，A可逆，.A(4=E, .A=A.E=A.A'(4)=4E)=4(4)=0 A为零矩阵， 4=0与假设矛盾。 .4=0→4=0，.等式4=4成立 评注：只要出现A,应联想到A=E,然后利用行列式性质 例3-5设n阶矩阵A满足A2+5A-4E=0,证明：A-3E可逆， 并求其逆矩阵

∴     0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 3            f A  A  E  （2）∵   1 1 1 0 1 3 2 0     x x x f x = 3 4 2 x  x  ∴ f A A 3A 4E 2    =                          0 1 1 0 4 3 2 0 1 3 3 2 0 1 2 =           15 9 1 5 例 3-4 设 A 为 n 阶方阵， * A 为 A 的伴随矩阵，证明： 1 *   n A A 证明 设 A=  n n aij  , ∵ A * A = A  E， ∴ n n A A  A  E  A  E  A * ， 当 A  0 时， 1 *   n A A ， 当 A  0 时， 则 0 * A  ，（证明，反证法如下） 若 0 * A  ， ∴ * A 可逆 ， ∴ A A   E 1 * * ， ∴       0 1 * 1 * 1 * *               A A E A A A A E A A A ∴ A 为零矩阵， ∴ 0 * A  与假设矛盾。 ∴ A  0  0 * A  ，∴等式 1 *   n A A 成立 评注：只要出现 * A ，应联想到 A * A = A  E ，然后利用行列式性质 例 3-5 设 n 阶矩阵 A 满足 5 4 0 2 A  A E  ， 证明： A 3E 可逆， 并求其逆矩阵

证明，A2+5A-4E=0 又，A+5A-4E=(4-3EXA+8E)+20E=0 u-()-6 4-4 ∴.A-3E≠0 A-3E可逆且(4-35=-4+85 20 评注：A-3E没有直接给出，而且给出了一个含A和E的方程， 则需要找出(4-3E)与另一个矩阵乘积等于E的式子。 123) 例3-6求矩阵B=458的逆矩阵。 346 123到 解B=458=1,.B可逆. 346 (-201） 12-3 评注：本题着重介绍低阶矩阵求逆矩阵的方法 1111 例37求矩阵A 11-1-1 1-11-1 的逆矩阵 1-1-11

证明 ∵ 5 4 0 2 A  A E  又∵ A  5A 4E  A3EA 8E 20E  0 ∴   E A E A E           20 8 3 ∴ 1 20 8 3      A E A E ∴ A 3E  0 ∴ A 3E 可逆且   20 8 3 1 A E A E      评注： A 3E 没有直接给出，而且给出了一个含 A 和 E 的方程， 则需要找出 A 3E 与另一个矩阵乘积等于 E 的式子。 例 3-6 求矩阵            3 4 6 4 5 8 1 2 3 B 的逆矩阵。 解 ∵ 1 3 4 6 4 5 8 1 2 3 B   ,∴ B 可逆. 又∵ 1 3 4 4 5 0, 3 6 4 8 2, 4 6 5 8 A1 1    A1 2    A1 3   , 2 3 4 1 2 3, 3 6 1 3 0, 4 6 2 3 A2 1    A2 2    A2 3   3 4 5 1 2 4, 4 8 1 3 1, 5 8 2 3 A1 3   A2 3    A3 3    ∴                 1 2 3 0 3 4 2 0 1 1 1 * A A A . 评注：本题着重介绍低阶矩阵求逆矩阵的方法. 例 3-7 求矩阵                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 的逆矩阵

解对下列矩阵进行初等行变换 11111000)11111000 /0 0 -2 -2-1100 1-11-10010 0-20-2-1010 1-1-110001 (0 -2 -2 0-1001 01111000 (10101/2 0 00111/2V200 001 0 11/2 -1/2 010120-20 0 12 0 20 (0-2-20-1001 (00-2 -20 0 -1 (100-101/2 2 (100 -10 1/2 2 0011/2-1/2 0 0101V2 0 0101/2 2 0 0 00112 0 00041 1 -11 00011/4-1/4-1/41/4 (100-11/4V4 1/41/4 01001/4 1/4 -/4 -1V4 00111/4-1/41/4 -1/4 00011/4-1/4 -1/41/4 11 1 1 -1 1 -11 评注本题着重介绍了高阶矩阵求逆矩阵的方法 (23000 21000 例3-8求矩阵A=00111的逆矩阵 00011 00001 11 解令4- A,=011 001 4与4，可逆，且

解 对下列矩阵进行初等行变换                        0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A | E                         1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 2 1 1 1 1                                       0 0 1 1 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 2 2 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1                                       1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 4 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1                       1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 ∴                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 A 1 1 . 评注 本题着重介绍了高阶矩阵求逆矩阵的方法. 例 3-8 求矩阵                  0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 2 3 0 0 0 A 的逆矩阵. 解 令          2 1 2 3 A1 ，            0 0 1 0 1 1 1 1 1 A2 ∴ A1 与 A2 可逆，且

001 -434000 1/2-1/2000 0 01-10 0001-1 00001 评注：本题主要应用分块矩阵来求矩阵的逆矩阵

            1 2 1 2 1 4 3 4 1 A1 ,               0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 A2 ∴                                  0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 0 0 0 1 4 3 4 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 A A A 评注：本题主要应用分块矩阵来求矩阵的逆矩阵