《线性代数》课程习题选解（C）第四章 习题选解

第四章部分习题及答案 1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系： x1+x2+2x-x=0 02x+x+x-x=0 2x1+2x2+x1+2x4=0 解：齐次方程组系数矩阵 [112-1-「112-1 0 100 0-1-31 0-1 013 i+r 220.4800 211-1 0 0 3 经过初等行变换知，齐次方程组系数矩阵的秩r=3, 4 基础解系的个数1=n-r=4-3=1,基础解系为5 4 3 [2x+3x3-x3+5x=0 23x++2年-7x=0 4x1+x2-3x+6x4=0 x1-2x2+4x3+7x4=0 解：齐次方程组系数矩阵 「23-151 [1000] 312-7 0100 41-36 0010 1-24-1 0001 齐次方程组系数矩阵的秩r=4,故方程组只有零解。 3x1+4x2-5x3+7x4=0 (3) 2x1-3x2+3x3-2x4=0 4+1l-13x+16x=0 7x1-2x2+x3+3x4=0 解：齐次方程组系数矩阵

1 第四章 部分习题及答案 1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系： ⑴                  2 2 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵                                                                           3 4 0 0 1 0 1 0 3 3 4 1 0 0 ~ 3 4 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 0 ~ 0 0 3 4 0 1 3 1 1 1 2 1 ~ 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 2 3 2 2 1 3 1 3 3 1 1 2 2 r r r r r r r r r r r r 经过初等行变换知，齐次方程组系数矩阵的秩 r  3， 基础解系的个数 l  n  r  4 3 1，基础解系为               3 4 9 4  。 ⑵                        2 4 7 0 4 3 6 0 3 2 7 0 2 3 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵                              0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ ~ 1 2 4 1 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5  齐次方程组系数矩阵的秩 r  4 ，故方程组只有零解。 ⑶                        7 2 3 0 4 11 13 16 0 2 3 3 2 0 3 4 5 7 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x ； 解：齐次方程组系数矩阵

[34-57 -3 3 -2 3—79 01 411-1316 7-2 00 13 00 0 0 齐次方程组系数矩阵的秩r=2,基础解系的个数1=n-r=4-2=2 基础解系为 「31 「-13 -20 5= 17 52= 0 0 [x-2x2+x+x4-x3=0 ④02+名-名-x-,=0 +7x3-5x3-5x4+5x=09 3x-x2-2x3+x4-x3=0 解：略 2、求解下列非齐次线性方程组： [4x+2x2-x3=2 (1)3x1-x2+2x3=10: 11x1+3x2=8 解：增广矩阵 「42-121-13-3-8 A=(4:6)=3-12103-1210 1130811308 403-3-81小13-3-8 0-1011340-101134 -0-30396 000-6 R(=2,Rd=3.R)<Ra),方程组无解 2x+3y+z=4 ②r-2y+4=-5 3x+8y-2:=13 4x-y+9z=-6 解：增广矩阵

2                                    0 0 0 0 0 0 0 0 17 20 17 19 0 1 17 13 17 3 1 0 ~ ~ 7 2 1 3 4 11 13 16 2 3 3 2 3 4 5 7  齐次方程组系数矩阵的秩 r  2 ，基础解系的个数 l  n  r  4  2  2， 基础解系为                             17 0 20 13 , 0 17 19 3  1  2 。 ⑷                            3 2 0 7 5 5 5 0 2 0 2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 。 解：略。 2、求解下列非齐次线性方程组： ⑴              11 3 8 3 2 10 4 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x ； 解：增广矩阵                               11 3 0 8 3 1 2 10 1 3 3 8 ~ 11 3 0 8 3 1 2 10 4 2 1 2 1 2 r r A A b                                  0 0 0 6 0 10 11 34 1 3 3 8 ~ 0 30 33 96 0 10 11 34 1 3 3 8 ~ 2 1 3 2 3 1 3 3 1 1 r r r r r r RA  2, RA  3, RA  RA ，方程组无解。 ⑵                      4 9 6 3 8 2 13 2 4 5 2 3 4 x y z x y z x y z x y z ； 解：增广矩阵

[231 4=(4:B)= 1-24-5 0000 4 =1 0000 R(A)=R=2<3,基础解系所含向量的个数1=n-r=3-2=1。 方程组的通解为 「x]「-21「- y=1+2。k为常数。 1o] [2x+y-+w=1 (3)3x-2y+z-3w=4: x+4y-3z+5w=-2 解：增广矩阵 「21-11 17 「10-1/7-1/76/7 A=4:6)=3-21-34~.~01-5/7917-517 14-35-2 000 0 0 R(4)=R(=2<4,基础解系的个数1=n-r=4-2=2,其基础解系为 「11 6 -9 52= 0 0 7 0 [「 「61 因此方程组的通解为 -9 1 070 k1,k2为常数。 7 2x+y-:+w=1 (4){4x+2y-2z+w=2. 2x+y-w=1 解：增广矩阵 「21-111]「11/2-1/201/2 A=46=42-212.~00010 21-1-1100000 R()=R)=2<4,基础解系所含向量的个数1=n-r=4-2=2,y,:为自 3

3                                    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ ~ 4 1 9 6 3 8 2 13 1 2 4 5 2 3 1 4   A Ab RA  RA  2  3 ，基础解系所含向量的个数 l  n  r  3 2 1。 方程组的通解为 k k z y x , 0 2 1 1 1 2                                 为常数。 ⑶                   4 3 5 2 3 2 3 4 2 1 x y z w x y z w x y z w ； 解：增广矩阵                                  0 0 0 0 0 0 1 5/ 7 9 / 7 5/ 7 1 0 1/ 7 1/ 7 6 / 7 ~ ~ 1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1   A Ab RA  RA  2  4 ，基础解系的个数 l  n  r  4  2  2 ，其基础解系为 , 0 0 5 6 ， 7 0 9 1 1 2                               因此方程组的通解为 1 2 1 2 , , 0 0 5 6 7 1 7 0 9 1 0 7 5 1 k k k k w z y x                                                      为常数。 ⑷                  2 1 4 2 2 2 2 1 x y z w x y z w x y z w 。 解：增广矩阵                              0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 ~ ~ 2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1   A Ab RA  RA  2  4 ，基础解系所含向量的个数 l  n  r  4  2  2，y,z 为自

由变量。 方程组的通解为 x 「-1/21 「1/2] [1/2 y =k 0 0 +k 0 k,k为常数。 1 0 0 0 3、非齐次线性方程组 +x2++x+x5=1 3x1+2x2+x3+x4-3x3=a x2+2x3+2x+6x=3 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=b 当α，b取何值时有解？并求出它的全部解。 解：增广矩阵 「1111111「11 1 1 7 a=(46)=3211-3a0-1-2-2-6a- 01226340122 6 3 5433-1b 0-1-2-2-6b-5 [111111 6+n012263 00000a L00000b-2 当a=0,b=2时，R(A)=R=2,方程组有解。 [111111]「10-1-1-5-2 7、:1012263-0122 3 000000 000000 000000 [000000 x,x4,x为自由变量。 「17 「1 5 2 -2 -2 -6 1 +k0 +k 0 0 1 0 0 1 4、证明线性方程组

4 由变量。 方程组的通解为 1 2 1 2 , , 0 0 0 1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 0 1 1/ 2 k k k k w z y x                                                    为常数。 3、非齐次线性方程组                           x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 4 3 3 2 2 6 3 3 2 3 1 ； 当 a,b 取何值时有解？并求出它的全部解。 解：增广矩阵                                                           0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 ~ 0 1 2 2 6 5 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 ~ 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 2 2 1 4 1 3 5 b a b a b a A A b r r r r r r r r r r   当 a  0, b  2 时， RA  RA  2 ，方程组有解。                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 0 1 1 5 2 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 3 1 1 1 1 1 1 1 2 r r A A b   ， 3 4 5 x , x , x 为自由变量。                                                                                        0 0 0 3 2 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 1 2 3 5 4 3 2 1 k k k x x x x x . 4、证明线性方程组

x-x2=a x-x1=4 53-x4=a X-Xs=a -x+x3=a5 有解的充分必要条件为立4，=0。 解：增广矩阵 r1-1000a 「1-1000 01-100a2 01-100 A=（4b=00 1-10a3 55gn001-1 0 0001-1a4 0001- L-10001a5J 00000 要使方程组有解，A)=R同=4，故∑a,=0· x,+X,+x1=1 5、入取何值时，非齐次线性方程组x+x2+x=元， x,+x2+2x3= (1)有惟一解：(2)无解：(3)有无穷多个解？ 11 解：系数矩阵行列式4=111=+2-32=(1+21-1。 11 ()当1≠1，-2时，A≠0，方程组有惟一解： (②)当1=-2时，增广矩阵 「-21111「1-21-2 A=(4)=1-21-2 -2111 11-2411-24 到 0-33-3 03-36]0003 R(4)=2,R=3.R(4)<R,方程组无解。 (3)当元=1时，增广矩阵

5                     1 5 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x a x x a x x a x x a x x a 有解的充分必要条件为 0 5 1   i ai 。 解：增广矩阵                                                     5 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ~ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 5 1 2 3 4 i i r r r r r a a a a a a a a a a A A b   ， 要使方程组有解， RA  RA  4 ，故 0 5 1   i ai 。 5、λ 取何值时，非齐次线性方程组               2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1      x x x x x x x x x ， ⑴有惟一解；⑵无解；⑶有无穷多个解？ 解：系数矩阵行列式    3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1               A 。 ⑴ 当   1,2 时， A  0 ，方程组有惟一解； ⑵ 当   2 时，增广矩阵                                                                   0 0 0 3 0 3 3 3 1 2 1 2 ~ 0 3 3 6 0 3 3 3 1 2 1 2 ~ 1 1 2 4 2 1 1 1 1 2 1 2 ~ 1 1 2 4 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 2 r 2r r r r r r r r r A A b   RA  2, RA  3, RA  RA ，方程组无解。 ⑶ 当  1 时，增广矩阵

11.1111 a=(46)=11110000 11110000 ()=a=1<3,方程组有无穷多解。基础解系所含向量的个数 1=n-r=3-1=2,通解为 「x1「-1「-7 x=1+k0+0k,k为常数。 6、设 2-小x+2x2-2x=1 2x1+(6-)x2-4x3=2 -2x-4x+6-k=-1-1 当入取何值时，此方程组有惟一解、无解或无穷多解？并在有无穷多解时求其 通解。 解：略。 7、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知是，2，其三个解向量， 并且 求该方程组的通解。 解：：n=4,r=3,∴基础解系所含向量的个数1=n-r=4-3=1。 设四元非齐次线性方程组为AX=B,则对应齐次线性方程组为AX=0。由 非齐次线性方程组解的结构知， 「2] [3 元为=8的一个特解则2玩-伍+)为=0的解。 14 6 故方程组的通解为

6                           0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 r r r r A A b   ， RA  RA 1 3 ，方程组有无穷多解。 基础解系 所 含 向 量 的 个 数 l  n  r  31 2，通解为 1 2 1 2 3 2 1 , , 0 0 1 1 0 1 0 1 1 k k k k x x x                                            为常数。 6、设                           2 4 5 1 2 5 4 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3     x x x x x x x x x ， 当 λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或无穷多解？并在有无穷多解时求其 通解。 解：略。 7、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3，已知是 1 2 3  , ,    其三个解向量， 并且                            4 3 2 1 , 5 4 3 2 1  2 3    。 求该方程组的通解。 解：∵ n  4, r  3 ，∴基础解系所含向量的个数 l  n  r  4 3 1。 设四元非齐次线性方程组为 AX  B ，则对应齐次线性方程组为 0  AX  。由 非齐次线性方程组解的结构知，              5 4 3 2 1  为 AX  B 的一个特解，则                  6 5 4 3 21  2 3    为 0  AX  的解。 故方程组的通解为

4k∈. 8、设AB都是n阶方阵，AB=O,证明：R(4)+R(B)≤n。 解：设B=,E,.B),由AB=0知Ap,=0U=1,2.,n) 则E,U=1,2,n)为AX=0的解向量，它们可由X=0的基础解系线性表 示， 则向量组B,B,.,Bn的秩≤n-(4)(基础解系所含向量的个数)， 于是R(B)≤n-R(A),即R)+RB)≤n。 9、设万是非齐次线性方程组4=b的一个解，乐，2，.，是对应齐次线性方 程组的一个基础解系，证明 ()万，2，线性无关： (2)万，+乐，万”+2，.，万+n线性无关。 证明：(1)利用反证法，设可，2，.，线性相关。 ,.,为=0的一个基础解系，故它们线性无关。 而万，2，.，线性相关，则万可由，豆，.，线性表示， 则万也是A=0的解，此结论与题设矛盾，故可，三，.，线性无关。 (②设有一组数ko,k,.,k,使得 k万”+k厅+)+k厉+)++k。行+豆)=0， 于是(k。+k+k2+.+k历+k后+k252+.+kn,三n,=0。 由1知，万，.，线性无关，则 k+k+k++k=0,从而k=0, k1=k2=.=kn=0 因此，万，万+，万矿+2，.，万+三线性无关。 10、设元，元2，.，元是非齐次线性方程组A=b的s个解，k1,k,.,k,为任意 实数，满足k+k2+.+k,=1,证明

7 k k  R                          , 5 4 3 2 6 5 4 3 。 8、设 A,B 都是 n 阶方阵， 0  AB  ，证明： RA RB  n 。 解：设   B    n     , , ,  1 2 ，由 0  AB  知 A j n j 0 1,2,  ,      ， 则 j n j 1,2,  ,    为 0  AX  的解向量，它们可由 0  AX  的基础解系线性表 示， 则向量组    n     , , , 1 2 的秩≤ n  R(A) （基础解系所含向量的个数）， 于是 R(B)  n  R(A) ，即 RA RB  n 。 9、设 *   是非齐次线性方程组 Ax b    的一个解，    nr     , , , 1 2 是对应齐次线性方 程组的一个基础解系，证明 ⑴     nr      , , , , 1 2 * 线性无关； ⑵        nr         * 2 * 1 * * , , , , 线性无关。 证明：⑴ 利用反证法，设     nr      , , , , 1 2 * 线性相关。 ∵    nr     , , , 1 2 为 0   Ax  的一个基础解系，故它们线性无关。 而     nr      , , , , 1 2 * 线性相关，则 *   可由    nr     , , , 1 2 线性表示， 则 *   也是 0   Ax  的解，此结论与题设矛盾，故     nr      , , , , 1 2 * 线性无关。 ⑵ 设有一组数 n r k k k  , , , 0 1  ，使得       0 * 2 * 1 2 * 1 * k0  k    k     knr   nr          ， 于是   1 1 2 2 0 * k0  k1  k2   knr   k   k    knr nr        。 由⑴知，     nr      , , , , 1 2 * 线性无关，则               0 0 1 2 0 1 2 n r n r k k k k k k k   ，从而 k0  0 ， 因此，        nr         * 2 * 1 * * , , , , 线性无关。 10、 设   s     , , , 1 2 是非齐次线性方程组 Ax b    的 s 个解， s k , k , , k 1 2  为任意 实数，满足 k1  k2  ks 1 ，证明

元=k71+k272+.+k,7 也是它的解。 证明：将x=k元+k,2+.+k,万，代入方程A=b Aki+ki2+.+k万，)=kAi1+k2Ai2+.+k,A万 =k6+k6+.+k,万=(k+k+.+k)5=6 故x=k万+k2+.+k,万，也是=b的解。 11、设非齐次线性方程组4=b的系数矩阵的秩为元，2，.，1是它的 n-r+1个线性无关的解（由第9题知它确有n-r+1个线性无关的解），证明 它的任一解可表示为 天=ki+k3i2+.+kr4ir1 其中k+k3++kn1=1。 证明：若元，2，.，刀m1是非齐次线性方程组行=b的n-r+1个线性无关的解， 则元-ir1,i-万4，.，方，-方4是对应齐次方程A=0的n-r个线 性无关的解，可构成A行=0的基础解系。 由于4(=石的通解为4(=0的通解加上本身的一个特解，故可表示为 天=万n1+(仿，-i)+入（⑦2-n)+.+元n,（(⑦n,-万n) =i+i2+.+n-i-+0-.-n-万-州 令=k,i=1,2.,n-r,1-乃2-nr=k1 于是天=k7+ki2+.+k。i7nr1,其中k+k3+.+k1=1。 12、齐次线性方程组 a1+ax2+.+amxn=0 a2+a222+.+a2nx=0 a+al23+.+agxn=0 的系数矩阵为 「a1a2.aw M=

8 s s x k  k  k        1 1  2 2   也是它的解。 证明：将 s s x k  k  k        1 1  2 2   代入方程 Ax b    ，   k b k b k b k k k b b A k k k k A k A k A s s s s s s                                1 2 1 2 11 22  1 1 2 2  故 s s x k  k  k        1 1  2 2   也是 Ax b    的解。 11、 设非齐次线性方程组 Ax b    的系数矩阵的秩为 r， 1 2 1 , , ,   nr     是它的 n  r 1 个线性无关的解(由第 9 题知它确有 n  r 1 个线性无关的解)，证明 它的任一解可表示为  1 1  2 2   nr1 nr1 x k  k  k       ， 其中 k1  k2  knr1 1。 证明：若 1 2 1 , , ,   nr     是非齐次线性方程组 Ax b    的 n  r 1 个线性无关的解， 则 1 1 2 1 1 , , ,  nr  nr nr nr        是对应齐次方程 0   Ax  的 n  r 个线 性无关的解，可构成 0   Ax  的基础解系。 由于 Ax b    的通解为 0   Ax  的通解加上本身的一个特解，故可表示为         1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1   1                               n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r x                                   令 1 1 2 1 , 1,2, , , i  i       nr  nr  k i  n r     k ， 于是  1 1  2 2   nr1 nr1 x k  k  k       ，其中 k1  k2  knr1 1。 12、 齐次线性方程组                       0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     的系数矩阵为                n n n n n n a a a a a a a a a A 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1      

设M是矩阵A中划去第i列剩下的n一1阶方阵的行列式，证明： M -M. (-1-Mn 是方程组的一个解： (2②)如果A的秩为-1，那么方程组的解全是 M -M2 (1)M.」 的倍数。 解：略

9 设 Mi是矩阵 A 中划去第 i 列剩下的 n－1 阶方阵的行列式，证明： ⑴                  n n M M M 1 2 1 1  是方程组的一个解； ⑵ 如果 A 的秩为 n－1，那么方程组的解全是                  n n M M M 1 2 1 1  的倍数。 解：略