《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第四章 线性方程组 4-2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 §4.2齐次线性方程组 齐次线性方程组的性质 基础解系及其求法 三、小结

第四章 线性方程组 三、小结 二、基础解系及其求法 一、齐次线性方程组的性质 §4.2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 一、 齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 411X1+4122+.+41mXn=0 021x1+422x2+.+42mXn=0 (4-5) m1七1+am2X2+.+0mXn=0 若记 11 012 X1 A= L22 ,X= 。 m2 mn

第四章 线性方程组 设有齐次线性方程组                 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x                          

第四章线性方程组 则齐次方程组(4-5)可写成矩阵形式 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,xn为方程(4-5)的解，则 X2 为方程(4一6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量

第四章 线性方程组 则齐次方程组(4-5)可写成矩阵形式 Ax  0 (4  6) 1 2 1 2 , , , (4 5 ) (4 6 ) (4 5 ) n n x x x x x x x             若 为 方 程 的 解 ， 则 为 方 程 的 解 向 量 ， 也 就 是 方 程 的 解 向 量

第四章线性方程组 线性方程组(4-5)的解向量具有下面两个性质 性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5，是方程组(4-5)的解向量，则5+5也 是方程组(4-5)的解向量. 证明只需证明5+52满足方程组(4-6)即可 A51=0,A52=0 .A(51+52)=A51+A52=0 故x=5+52也是Ax=0的解

第四章 线性方程组 1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 )       两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明   0  A  1   2  A 1  A 2  0 0  A 1  , A 2  故 x 也是Ax 0的解.   1   2    (4  6) 只需证明 1 2 + 满足方程组 即可 线性方程组(4-5)的解向量具有下面两个性质

第四章线性方程组 性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设5是方程组(4-5)的解向量，1是任意数， 则25也是方程组(4-5)的解向量。 证明由于A(25)=2(A5)=入0=0 所以5是(4-5)的解向量

第四章 线性方程组 (4 5) (4 5 . .2 ) 4 2      一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 由于 A( )  (A )  0  0 所以   是(4 -5)的解向量

第四章线性方程组 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5) 的解向量的线性组合仍是(45)的解向量.即 设5,52，5n,都是(4-5)的解向量，2,22，.n， 是为任意数，则 151+九252+.+九m-5m-r 仍是(4-5)的解。 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间

第四章 线性方程组 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5) 的解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量 . 即 设 都是(4-5)的解向量， 是为任意数，则     nr , , , 1 2    nr , , 1 2 1 1  2 2  nr nr 仍是(4-5)的解. 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间， 称为方程组(4-5)的解空间

第四章线性方程组 方程组4-5)的全部解向量构成个一个向量空间， 称为方程组4-5)的解空间.它是R”的一个子空间. 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、 4.2.2知，它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的 所有解，只需求出解空间的一组基就行了. 下面我们来介绍求解空间的一组基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,即 R(A)=r不妨假设A的前个列向量线性无关，则A 的行最简形为

第四章 线性方程组 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空间, 称为方程组(4-5)的解空间. 它是R n的一个子空间. 如果方程组(4-5)有非零解，由性质4.2.1、 4.2.2知，它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的 所有解，只需求出解空间的一组基就行了. 下面我们来介绍求解空间的一组基 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r, 即 R(A)=r. 不妨假设A的前r个列向量线性无关, 则A 的行最简形为

第四章线性方程组 P+1 0 1 b 6n 0 0 0 。 0 0 0 0 0 与I对应的线性方程组为 =-b+1X,+1-.-b1,nXm (4-7) X,=-b,+1X,+1-.-bmXa 线性方程组(4-7)与(4-5)同解

第四章 线性方程组 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I                                1 1, 1 1 1, , 1 1 , (4 7) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                   与 I 对应的线性方程组为 线性方程组(4-7)与(4-5)同解

第四章线性方程组 在方程组(4-7)中，给定x+1,比m一组确定的数 可唯一确定x1，·x,的值，便得到方程组(4-7的一个 解，这个解也是方程组(4-5)的一个解，我们把 X+1心n称为自由未知量。 令x+iXn分别取下列n-r组数 0 X+2 0 0

第四章 线性方程组 在方程组(4-7)中, 给定xr+1 ,.,xn一组确定的数, 可唯一确定x1 ,.,xr的值, 便得到方程组(4-7)的一个 解, 这个解也是方程组(4 -5 )的一个解, 我们把 xr+1 ,.,xn称为自由未知量. 令xr+1 ,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x x                                                  ， ，

第四章线性方程组 由(4-7)依次可得 -b1r+1 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解 b1.r+1 -b1+2 -bi.n . . b.r -br2 51= 1 52= 0 5m-,= 0 0 1 0 0 0

第四章 线性方程组 1 1, 1 , 1 r r r r x b x b                    ， 1, 2 , 2 r r r b b          ， 1, , n r n b b        ， 由(4-7)依次可得 . 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解 1, 1 , 1 1 1 0 0 r r r b b              ， 1, 2 , 2 2 0 1 0 r r r b b              ， 1, , 0 0 1 n r n n r b b             .