《线性代数》课程习题选解（C）第三章 习题选解

第三章部分习题及解答 2.设 [1111 「123] A=11-16B=-1-24: 1-11051 求3AB-2A及AB. 解 111T123]1111「-213227 3B-2A=311-1-1-24-211-1 -2-17 1-110511-11429-2 111T123]「058] 1-11o 3.计算 「131 3)21400-13 1-1341-31 40-2 「1311 [21400-13「6-791 1-1341-31 20-5-7 40-2 「aia:aTx (4)dn ax a3a23a33x3 解 a3 az a3x3 「x =+n+a+d+++ =axi+azx+a+2an2xx2+2a+2a

第三章 部分习题及解答 2．设 , 0 5 1 1 2 4 1 2 3 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1                         A   B 求 3AB  2A及AB . 解：                                                       4 29 2 2 17 20 2 13 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3AB 2A 3 .                                       2 9 0 0 5 6 0 5 8 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B 。 3．计算： （3）                       4 0 2 1 3 1 0 1 3 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0 ； 解：                                 20 5 7 6 7 9 4 0 2 1 3 1 0 1 3 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0 ； （4）                       3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x ； 解：     1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 3 3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 3 a x a x a x 2a x x 2a x x 2a x x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x a a a a a a a a a x x x                                           

6.设(2)=a,”+a,++a,A是一个m阶方阵，定义 f)=a4”+aA-++aE,f八A)称为矩阵A的m次多项式。 na=-a 田4-6-a (3)设B=PAP-,证明：B=PAP,fB)=Pf(A0P。 解：(1) =-s-3-6B8 @44-66 由上面结论，得/)=a4”+a4++a,E 66a[a a「301+a1=[a)01 (3)Bt =(PAP-X(PAP-)(PAP-)=PA(P-P)A(P-P).AP-=PAP-: 由上面结论，得(B)=aB+aB-++a,E =aoPA"P-+a PA"P++a PAP-+a PEP-=Pf(A)P-1 7.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。 证明：(BAB)=BAB=BAB :B'AB是对称矩阵。 9.求所有与A可交换的矩阵： 「010] (2)A=001 000 解：令B=a1a2a23且AB=BA。 a31a32a3

6．设f ()  a0 n  a1 n1  an , A是一个n阶方阵，定义 f (A)  a0A n  a1A n1  anE, f (A)称为矩阵A的n次多项式。 （1） , ( ); 3 3 2 1 ( ) 5 3, 2 f A  试求f A               （2） ; 0 ( ) ( ) 0 , ( ) 0 0 , 0 0 2 1 2 1 2 1                            f f A A f A k k 设 证明； k （3） 1 1 1 , , ( ) ( )    B  PAP B  PA P f B  Pf A P 设 证明： k k 。 解：（1）                                         0 0 0 0 0 1 1 0 3 3 3 2 1 5 3 3 2 1 3 3 2 1 ( ) 5 3 2 f A A A E ； （2） 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0                           k k k A A A A A A A                        k k k A 2 3 1 3 2 3 1 0 0 0 0      ； f A a A a A anE n n     由上面结论，得 ( ) 0 1 1                                       0 ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0         f f a a n an an n n n  （3） 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )        B  PAP PAP PAP  PA P P A P P AP  PA P k   k ； f B a B a B anE n n     由上面结论，得 ( ) 0 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 0 ( )         a PA P  a PA P   an PAP  anPEP  Pf A P n n  . 7．设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BAB 也是对称矩阵。 证明： (B'AB)' B'A'B  B'AB B'AB是对称矩阵。 9．求所有与 A 可交换的矩阵： （2）            0 0 0 0 0 1 0 1 0 A 解： AB BA a a a a a a a a a B            令  ,且 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3

[o 1 OTan dn d aas azsazs AB=001a21a22a23=a31a2a3:, 000la1a2a000J an anz an To 10 o anan BA=a2142a:001=0a21a2 La as aso o aa AB=BA∴.a1=a1=a2=0,a1=a2=a3=l,a2=43=3,au=1(1,s,1eR) :.所有可交换的矩阵B=015 (0s,t∈R) 001 11.设A是阶矩阵，若A'=-A,称矩阵A为反对称矩阵。证明任一n阶矩阵 可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和，且表示式惟一。 解：令B=4牛一B=牛4=B:B为对称矩阵： 2 C1C分。-CB为反对称矩阵 2 且A=B+C,所以任一n阶矩阵可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和，且 表示式惟一。 12.求下列矩阵的逆矩阵： e0 解(2) m09mo-0-m 「12-1 (3)34-2: 5-41 解(3) 12-1100]12-110012-1100 34-20100-21-3100-21-310 5-410010-146-50100-116-71

                                0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a AB ，                                 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 a a a a a a a a a a a a a a a BA ， AB  BA a2 1  a3 1  a3 2  0,a1 1  a2 2  a3 3  l,a1 2  a2 3  s,a1 3  t （l,s,t R） ( , , ) 0 0 0 l s t R l l s l s t B            所有可交换的矩阵  11．设 A 是 n 阶矩阵，若 A’= -A，称矩阵 A 为反对称矩阵。证明任一 n 阶矩阵 可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和，且表示式惟一。 解： 令 B B为对称矩阵； A A B A A B        2 ' ' 2 ' 令 C B为反对称矩阵； A A C A A C         2 ' ' 2 ' 且 A BC ，所以任一 n 阶矩阵可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和，且 表示式惟一。 12．求下列矩阵的逆矩阵： （2）            sin cos cos sin ； 解（2）                                                       sin cos cos sin sin cos cos sin 0 1 1 0 sin cos cos sin sin cos cos sin 1  E （3）              5 4 1 3 4 2 1 2 1 ； 解（3）                                            0 0 1 16 7 1 0 2 1 3 1 0 1 2 1 1 0 0 ~ 0 14 6 5 0 1 0 2 1 3 1 0 1 2 1 1 0 0 ~ 5 4 1 0 0 1 3 4 2 0 1 0 1 2 1 1 0 0

[2- 1 0 0 [100 0 010 001-16 12 -1 .34 2 L5-41 (5) 解(5) [3-20 -110001[1 -2 -3-20010 2 210100 1 -2-3-20010 0 -11000 01210001 01210001 「1-2-3-20010]1-2-3-20010] 022 1010 0 2101 0 049 510-30 0 0 5 o 1 2 000 1 10-0 00-治 ⅓ 0 00 01 -2 -41 0 010001 001 0 0010-1 -1 3 6 000-0-5 -0 000121-6-1 [3-2 0 -1「1 1 2 -4 0221 010 -1 1-2-3-2 6 0121 13.解下列矩阵方程：

~                               0 0 1 16 7 1 0 2 1 2 3 2 0 1 1 1 0 0 2 1 0 ~ 0 0 1 16 7 1 0 2 1 2 3 2 0 1 1 1 2 1 1 0 0                                16 7 1 2 1 2 6 2 13 2 1 0 5 4 1 3 4 2 1 2 1 1 ； （5）                  0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 解（5）                                    0 1 2 1 0 0 0 1 3 2 0 1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 3 2 0 1 1 0 0 0 ~ 1 3 r r ~                                     0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 0 0 5 3 1 2 3 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 ~ 0 1 2 1 0 0 0 1 0 4 9 5 1 0 3 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0                                            0 0 0 1 2 1 6 10 0 0 1 0 1 1 3 6 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 4 ~ 1 5 3 10 1 5 1 10 0 0 0 1 0 5 3 5 2 5 1 5 3 0 0 1 0 5 3 10 9 5 1 10 0 1 0 1 0 5 2 5 3 5 1 5 1 0 0 2 ~                                        2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 1 。 13．解下列矩阵方程：                0 0 1 16 7 1 2 1 2 6 2 13 0 1 0 1 0 0 2 1 0 ~

md副 1-11 211 210010 i-11-110021 -1100 非割 03-201-2 、1-2 A可逆且A- 001 103 「1-131 所以X 3药%5 「-221 432 [0101[100「1-431 (4)100X001=20-1 0010101-20 解： [0101「0101001「100010] f010 记4=100，：100010 010100.A=100 001 001001 001001 001 「100] [100100 100 010001∴.B-=001 [010010001 001010 010 「1-431「2-101 所以X=A20-1B=13-4 1-20 10-2 「423] 14.设A=110 AB=A+2B,求B。 [-123

（2）                     4 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 0 2 1 1 X ； 解：                                       2 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 2 1 1 1 0 0 , 1 1 1 2 1 0 2 1 1 ~ 1 3 r r 记A                                               0 0 1 1 1 0 3 0 2 3 0 1 1 1 3 0 1 3 1 0 0 1 ~ 0 3 2 0 1 2 3 0 2 3 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ~ 0 3 3 1 0 2 0 3 2 0 1 2 1 1 1 0 0 1 ~ ~                                  1 1 0 3 1 2 3 2 3 0 1 3 1 0 0 1 1 1 0 3 1 2 3 0 1 0 2 3 0 1 3 1 0 0 1 1 A可逆且A ；                                    3 5 2 3 8 2 2 1 1 1 0 3 1 2 3 2 3 0 1 3 1 4 3 2 1 1 3 所以X 。 （4）                                   1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X 。 解：                                              0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 , 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 ~ 1 2 A A r r 记                                               0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ~ 3 2 B B r r 记  所以                               1 0 2 1 3 4 2 1 0 1 2 0 2 0 1 1 4 3 1 1 X A B 。 14．设 A , AB A 2B,求B 1 2 3 1 1 0 4 2 3              

解：AB=A+2B=(A-2E)B=A→B=(A-2E)A, [?23100-12100 4-2E-1-100101-10010 -121001L223100 「-1210011「1-2-100-1]「101021 011011-011011-011011 L065102065102」00-11-6-4 「1001-4-3 「1-4-3 0101-5-3(A-2E)可逆且(A-2E)=1-5-3 001-164J -164 「1-4-3T423]「3-8-6] B=(A-2E)A=1-5-3110=2-9-6 -1641-123-2129J 16.设方阵A满足-A-2E=0,证明A及A+2E都可逆，并求4及(A+2E)。 证明： A-A-2E=0=AMA-E)=2E→)4(A-E)=E∴A可逆且A-)(A-E): -A-2E=0→-A+2E(4-3B)=E(A+2E)可逆且(4+2E)=-4-3E) 19.设n阶方阵A的伴随矩阵为A,证明： (1)岩4=0，则4=0，(24=4 当4=0→若A=0→则A°=0.4=0： 证明(1) 若A≠0，假设|A0,则4可逆，由A4°AE=0,: 得A=0,矛盾，故|A上0 证明(2)若1A仆0由(1)知结论成立： 若|A≠0，则A可逆 :有→=4==4=4 20.设

解； AB A B A E B A B A E A 1 2 ( 2 ) ( 2 )          ，                              2 2 3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 2 3 1 0 0 2 ~ 1 3 r r  A E E ~                                     0 0 1 1 6 4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 1 ~ 0 6 5 1 0 2 0 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 1 ~ 0 6 5 1 0 2 0 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 1 ~                                    1 6 4 1 5 3 1 4 3 ( 2 ) ( 2 ) 0 0 1 1 6 4 0 1 0 1 5 3 1 0 0 1 4 3 1 A E 可逆且 A E ，                                                2 12 9 2 9 6 3 8 6 1 2 3 1 1 0 4 2 3 1 6 4 1 5 3 1 4 3 ( 2 ) 1 B A E A . 16．设方阵 A 满足 2 1 1 2 0, 2 ( 2 )   A  A E  证明A及A E都可逆，并求A 及 A E 。 证明： ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 0 ( ) 2 2 1 A  A E   A A E  E  A A E  E A A  A E 可逆且   ； ( 3 ) 4 1 2 )( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) 4 1 2 0 2 1 A  A E    A E A E  E  A E A E   A E （ 可逆且   19．设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 * A ，证明： （1） 1 * * 0, 0; 2     n 若 A 则A （ ）A A 。 证明（1） 0, | | 0 0, | | 0, | | E 0, 0 0 0, | | 0                    A A A A A AA A A A A A 得 矛盾，故 若 假设 则 可逆，由 当 若 则 ； ； 证明（2）若 | A| 0 由（1）知结论成立； 若 | A| 0,则A可逆 1 * 1 * 1 * 1           n n A A A A A A A A A  A . 20．设

「3400] A= 4-300求4及· 00201 0022 解：把方阵A进行如下分块 4-[68共w-2s4=B 4=44=-1004=44°=(-100)=106， [54000 -e-E-6]888 0AΓ00240 002624 孔位价方库4及情方裤部可德，来侣。 解：用初等变换法求 「0AEO「B00E]r[E00B-[E0OB-1 B OO EO A E OO A E OO E A O -[e

8 4 , 0 0 2 2 0 0 2 0 4 3 0 0 3 4 0 0 A 求 A 及A               。 解：把方阵 A 进行如下分块： 4 2 2 2 0 25, 4 3 3 4 , 1 2 2 1              A A O A A O A 其中 。 8 8 1 6 1 2 8  A  A1  A2  100 , A  ( A  A )  (100) 10 ，                                      6 4 4 4 4 4 2 4 4 1 6 4 4 4 4 2 4 4 1 0 0 2 2 0 0 2 0 0 5 0 0 5 0 0 0 2 2 2 0 , 0 5 5 0 O A A O  A A A 。 21．设 n 阶方阵 A 及 m 阶方阵 B 都可逆，求 1       B O O A . 解：用初等变换法求                               O E A O E O O B O A E O E O O B O A E O B O O E B O O E O A E O r r B r A r 1 1 1 ~ ~ ~ 2 1 1 1 1 2                  A O O B B O O A 1 1 1