《线性代数》课程学习指导（C）第三章 矩阵的运算_综合练习

第三章综合练习题 一、判断题：（判断下列命题的对错，并在题后括号内标记√或） 1.若方阵A满足A=A,则A=E或A=0.() 2.任一可逆阵都可以只经过初等行变换化为单位矩阵.( 3.非奇异对称矩阵的逆矩阵是对称阵（） 4.若矩阵A的秩为r,则A中所有阶数小于r的子式都不为零（ 5.若n阶方阵小、RC满足AB=AC且A≠0，则B=C( 6.任何向量组都与其最大无关组等价() 7.n阶方阵A可逆的充分必要条件是R()=n() 8.若A、B都是n阶方阵，则46=BA() 二、填空题 1.设A为4阶方阵，且4=5，则2A=一：3A=一 2) 2.设A=02-1,则4= 5 3.已知n阶矩阵A、B满足AB=E,其中E为n阶单位矩阵，则B=。 「034] 4.设A=012,则= 200 5.设A为n阶可逆矩阵，若行列式4=，则4= 「31001 6.矩阵A= 4200 0010 ,则A= 00-45 7.设A为n阶方阵，且4=2，则伴随矩阵的行列式4= 8.设n阶方阵A,满足A=A,则称A为矩阵

第三章 综合练习题 一、判断题：(判断下列命题的对错，并在题后括号内标记√或╳) 1．若方阵 A 满足 2 A = A ，则 A = E 或 A = 0 .( ) 2．任一可逆阵都可以只经过初等行变换化为单位矩阵. ( ) 3．非奇异对称矩阵的逆矩阵是对称阵 ( ) 4．若矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中所有阶数小于 r 的子式都不为零 ( ) 5.若n阶方阵 A、B、C 满足 AB  AC且A  0 ,则 B =C( ) 6.任何向量组都与其最大无关组等价( ) 7. n阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 R(A)= n ( ) 8.若 A、B 都是n阶方阵，则 AB  BA ( ) 二、填空题 1.设 A 为 4 阶方阵，且 A  5,则 2A  ； -1 3A = 。 2.设          5 1 2 A 1 2 -1 ,则 A = 。 3.已知n阶矩阵 A、B 满足 AB=E,其中 E 为n阶单位矩阵，则 1 B = 。 4.设 0 3 4 0 1 2 2 0 0 A        , 则 1 A   。 5.设 A为n阶可逆矩阵，若行列式 1 1 A , A n   则  _。 6.矩阵 A  3 1 0 0 4 2 0 0 0 0 1 0 0 0 4 5        ，则 1 A   _ _. 7.设 A为n阶方阵，且 * A = 2,则伴随矩阵的行列式 A = . 8.设 n 阶方阵 A，满足 A  A / ，则称 A为 矩阵

9.若n阶矩阵A,B均可逆，则(AB)= 10.对于3阶矩阵A,A=2,则5A= (102 11.设A是3阶矩阵，且R()=2,B=020,则R(AB)= -103 12.若3阶矩阵A=(a,a,a),且4-=5，B=(a,a23a),则 13.矩阵A可逆的充分必要条件是 「1 117 14.矩阵A=022,则4A 003 f1 15.矩阵1[-111]的秩为 「20001 0-100 16.方阵A= 00 }0的选矩阵为 0004 「-1 00 17.若矩阵A=0k6可逆，则k的取值应满足 1-12 1收胶4为5阶方库4=2，则后到+中 三、选择题 1.设A、B、C都为m阶矩阵，则下列说法正确的是()。 A.若AB=AC,则B=CB.若AB=0,则A=0或B=0 C.(AB)=A'BT D.(A+BXA-B)=42-B2 2.设n阶矩阵A的行列式等于D,则-34=()。 A.(-3)"D B.-3D C.3D D.(-3)-1D 3.已知A是3阶方阵，且4=-2，则4=(） A-2B3 c.D.2

9.若 n 阶矩阵 A, B 均可逆，则 1 ( )  AB = . 10.对于 3 阶矩阵 A， A =2，则 5A = . 11.设 A是 3 阶矩阵，且         1 0 3 0 2 0 1 0 2 R(A) 2, B ，则 R(AB)  ； 12.若 3 阶矩阵 ( , , ) A  1  2  3 ,且 A =5， ( , ,3 ) B  1  2  3 ，则 B = ； 13.矩阵 A可逆的充分必要条件是 ； 14.矩阵        0 0 3 0 2 2 1 1 1 A ,则 T A A  . 15.矩阵   1 1 1 1 1 1        的秩为 ． 16.方阵 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 4 A         的逆矩阵为 . 17.若矩阵          1 1 2 0 6 1 0 0 A k 可逆，则k 的取值应满足 . 18.设 A 为 5 阶方阵，且 A  2，则 * 1 2 1 A  A       = 。 三、选择题 1.设 A、B、C 都为n阶矩阵，则下列说法正确的是( )。 A. 若 AB =AC, 则 B =C B.若 AB =0，则 A  0 或 B  0 C.   T T T AB  A B D.    2 2 A  B A  B  A  B 2．设n阶矩阵 A 的行列式等于 D，则  3A ( )。 A. n (3) D B.-3D C. 3D D. 1 ( 3)   n D 3．已知 A 是 3 阶方阵，且 A  2,则 1 A =( ) A. –2 B. - 2 1 C. 2 1 D. 2

4.设5阶方阵A的行列式值为零，则A中 中阿楚先经会丽鳞微合 5.设n阶方阵A与B等价，则下列命愿不正确的是 A.14=B1 B.存在可逆矩阵p,Q使PAQ=B C.r(A)=r(B) D.矩阵A经过有限次的初等变换可以化为矩阵B 6.下列命题正确的是() (A)若n阶行列式D.=0,则D,中必有两行（或两列）元素对应成比例 (B)若方阵A满足A2=A,则A=E或A=0 (C)非奇异对称矩阵的逆矩阵一定是对称阵 (①)若矩阵A的秩为r,则A中所有阶数小于r的子式都不为零 7.若A,B为nn≥2)阶方阵，则下列各式正确的是( A.A+B=+B B.(AB)=AT B?C.AB =BA D.AB BA 8.设n阶矩阵A的行列式等于D,则kA=()。 9.设A为n阶矩阵(n≥2)，且A2=E,则必有( A.A-E:B.A的逆矩阵等于E:C.A的行列式等于1：D.A的秩等于n 11 -93 g-3 1l.设A为n阶方阵，A≠0，A是A的伴随矩阵，则4等于（) A.4: B. C.4; D.4" 12.若n阶方阵A可逆，则A可逆，且A的逆为(） A.A; B.44; c.4 13.以下等式正确的是（)。 阳外剑 B您-

4.设 5 阶方阵 A的行列式值为零,则 A中 ( ) A. 必有一行元素全为零 B. 必有一行向量是其余行向量的线性组合 C. 必有两行元素对应成比例 D. 任一行向量是其余行向量的线性组合 5.设n阶方阵 A 与 B 等价，则下列命题不正确的是 （ ） A．| A || B | B. 存在可逆矩阵 p,Q 使 PAQ  B C. r(A)  r(B) D. 矩阵 A经过有限次的初等变换可以化为矩阵 B 6.下列命题正确的是（ ） (A) 若n阶行列式 0 Dn = ，则 Dn 中必有两行（或两列）元素对应成比例 (B) 若方阵 A 满足 2 A = A ，则 A = E 或 A = 0 (C) 非奇异对称矩阵的逆矩阵一定是对称阵 (D) 若矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中所有阶数小于 r 的子式都不为零 7.若 A,B 为n(n  2) 阶方阵,则下列各式正确的是( ). A. A  B  A  B B. T T T (AB )  A B C. AB  BA D. AB  BA 8．设 n 阶矩阵 A的行列式等于 D，则 1 kA =（ ）。 A. n n D k ； B. D k n ； C. n1 kD ； D. D k 。 9.设 A为n阶矩阵(n  2) ，且 A  E 2 ，则必有（ ） A．A  E ； B．A的逆矩阵等于 E ； C．A的行列式等于 1； D．A 的秩等于n . 10.矩阵 3 0 1 3       的逆矩阵是( ) A. 3 0 1 3        ; B. 1 0 3 1 1 9 3        ; C. 3 0 1 3       ; D. 1 0 3 1 1 9 3        . 11. 设 A 为 n 阶方阵， A  0， * A 是 A 的伴随矩阵,则 * A 等于（ ） A. A ; B. A 1 ; C. n1 A ; D. n A . 12.若n阶方阵 A 可逆，则 * A 可逆，且 * A 的逆为（ ） A. A ; B. A A; C. A A ; D. n1 A A . 13. 以下等式正确的是（ ）。 A.             c d a b k kc d ka b B. c d a b k kc kd ka kb 

c [a-ap9 四、计算题 (500 4.求矩阵A=031的逆矩阵. 021 11-1) 5.已知A=011,且AP-AB=E,求矩阵B. (001 012]「117 6.114X=01, 求矩阵X 2-10-10 「21-1 7.己知X210 1-11

C.               c d a b c d a c b d D. b a d c c d a b  四、计算题 4. 求矩阵        0 2 1 0 3 1 5 0 0 A 的逆矩阵. 5.已知         0 0 1 0 1 1 1 1 1 A ，且 A  AB  E 2 ，求矩阵 B . 6.              -1 0 0 1 1 1 2 -1 0 1 1 4 0 1 2 X ，求矩阵 X 7.已知 2 1 1 2 1 0 1 1 1 X         =        4 3 2 1 1 3 ，求矩阵 X

「1011] 8.已知矩阵A=020,B为3阶方阵，E是3阶单位矩阵，且 201 AB-A-B=E,求E 9.设A是四阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式A-子求行列式 2A)-3A 「100]「-1001 10.已知矩阵A=020B=9910,求4B+B-。 00419899-1 「34001 2300 1山.设矩阵A00-20 ,求A1 0011

8. 已 知 矩 阵        2 0 1 0 2 0 1 0 1 A ， B 为 3 阶 方 阵 ， E 是 3 阶 单 位 矩 阵 ， 且 A B  A  B  E 2 ，求 B . 9.设 A 是四阶方阵，  A 是 A 的伴随矩阵，A 的行列式 4 1 A  ，求行列式 1 * (2A)  3A  10.已知矩阵        0 0 4 0 2 0 1 0 0 A ，          198 99 1 99 1 0 1 0 0 B ，求 1 AB  B 。 11.设矩阵 3 4 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 A         ，求 4 1 | A |, A 

五、证明题 2.设矩阵A为n阶矩阵，若A+B=AB,证明A-E可逆。 4.设A为n阶非零矩阵，A◆为A的伴随矩阵，且A体=A,证明A≠0

五、证明题 2.设矩阵 A为 n 阶矩阵，若 A  B  AB ，证明 A  E 可逆。 4.设 A为n阶非零矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，且 * T A  A ，证明 A  0

第三章综合练习题答案 一、判断题： 1.×;2.V:3.V4.×:5.×:6.V7.V8.V 二、填空题： 00 1] 1.80,81/8:2,-1;3.4: 4.0 5.:6.1/10: 0 7.2-;8.对称矩阵：9.B4; 10.250:11.2: 1 1111 000 12.15:13.4≠0： 14.155: 15.1；16. 6-100 1514 17.k≠-3；18.512： 三、选择题： 1.B;2.A:3.B:4.B;5.A:6.C;7.C: 8.B:9.D:10.B;11.C:12.C:13.D

第三章 综合练习题答案 一、判断题： 1.×； 2.√； 3.√； 4.×； 5.×； 6.√； 7.√； 8.√. 二、填空题： 1.80，81/8； 2，-1； 3.A； 4.      0 2 3 2 1 0 2 0 2 1 0 0 ； 5.n； 6.1/10； 7. 1 2 n ； 8.对称矩阵； 9. 1 1 B A ； 10. 250； 11. 2； 12.15； 13. A  0； 14.       1 5 14 1 5 5 1 1 1 ； 15. 1； 16.        4 1 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 ; 17. k  3； 18.512； 三、选择题: 1. B ； 2. A； 3. B ； 4. B ； 5. A； 6.C ； 7.C ； 8. B ； 9. D； 10. B ； 11.C ； 12.C ； 13. D