《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-2 向量及其线性运算

二章矩阵与向量 §2.2 向量及其线性运算 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题

第二章 矩阵与向量 二、n 维向量的线性运算 一、n维向量的概念 四、小结 思考题 §2.2 向量及其线性运算 三、向量空间与子空间

第二章矩阵与向量 一、n维向量概念 定义1由n个数组成的有序数组(a1,2,.an） 称为一个n维向量.记作 a=(a1,a2,.an） 其中第i个数a:(i=1,2,.,n)称为n 维向量α的第i个分量或坐标 分量为实数的向量称为实向量， 分量为复数的向量称为复向量

第二章 矩阵与向量 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an ) 称为一个n维向量.记作  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量  的第 i 个分量或坐标. 一 、n维向量概念 定义1 分量为复数的向量称为复向量. 分量为实数的向量称为实向量

第二章矩阵与向量 例如，元线性方程(8)中第i(1≤i≤m)个方程 01X1+42X2++4nXn=b: 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (a1,2,.,4n,b) 而该方程的一个解，=C,x2=C2,.,xn=cn可用一个n 维向量(c,c2,cn)来表示，该方程组的解构成的n维 向量叫做该方程组的解向量

第二章 矩阵与向量 1 1 2 2 1 2 (8) (1 ) 1 ( , , , , ) i i in n i i i in i n i i m a x a x a x b n a a a b          例如， 元线性方程 中第 个方程 的系数和常数项对应着一个 维向量 1 1 2 2 1 2 , , , ( , , , ) . n n n x c x c x c n c c c n      而该方程的一个解 可用一个 维向量 来表示，该方程组的解构成的 维 向量叫做该方程组的解向量

第二章矩阵与向量 规定 向量相等 两个向量a=(4,2,.an)B=(b1, b2,.bn),若4=b:(i=1,2,.,n),则称a与 B相等，记a=B 零向量0=(0,0，.，0) 负向量对a=(41,2,.n),称 (-01,-2,一n) 为a的负向量.记为一a.即 -C=（-01,-a2,.,-lm)

第二章 矩阵与向量 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对  = ( a1 , a2 , . an )， 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的负向量. 记为－ . 即 － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 规定 向量相等 两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b1 , b2 , . bn )，若 ai = bi ( i = 1, 2, . , n)，则称 与  相等，记  = 

第二章矩阵与向量 行向量0=（41,2，4n) a 列向量 a= 3 注意： 行向量和列向量只是写法上不同，而本质 上并没有区别

第二章 矩阵与向量 注意: 行向量和列向量只是写法上不同，而本质 上并没有区别. 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量  =       an a a  2 1

第二章矩阵与向量 二、n维向量的线性运算 定义2设a=（a1,2,an)B=(b1,b2),bn) 都是n维向量，向量(1+b1,2+b2,an+b) 称为向量a与的和，记作a+B,即 a+B=(41+b1,2+b2,4n+bn) 由负向量，定义向量的减法： C-B=a+（-B)=(a1-b1,an-bn)

第二章 矩阵与向量 定义2 设 = ( a1 , a2 , ., an ),  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 称为向量与的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量，定义向量的减法：

第二章矩阵与向量 定义3设au=(a,2,n),是实数，定义 入a=(兄41，兄2，九0n) 称为数2与向量a的乘积，简称为数乘，记作λa. 数2与向量a的乘积的有下面性质： (1)0a=0(2)(-1)a=-a(3)20=0 (4)如果≠0，a≠0，那么1a≠0. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

第二章 矩阵与向量  = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积, 简称为数乘, 记作 . 设 = ( a1 , a2 , ., an 定义3 )， 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的有下面性质: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.               ０ -１ 如果 ０， ，那么

第之章矩阵与向量 向量的线性运算满足八条运算律 设a、B、y是n维向量，0是n维零向量， k、I是任意实数， (1) a+B=B+a (2) (a+B)+y=a+(B+Y) (3) a+0=a (4) a+(-a）=0

第二章 矩阵与向量 向量的线性运算满足八条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数

第二章矩阵与向量 (5) 1.a=a (6)(k1)a=k(la) (k(a+B)=ka+kβ (8)(k+1)a=ka+la 我们通常把满足上述八条运算规律的运算， 统称为线性运算

第二章 矩阵与向量 (7) k ( +  ) ＝ k + k (8) ( k + l )  = k + l (6) ( k l )  = k ( l ) (5) 1· =  我们通常把满足上述八条运算规律的运算， 统称为线性运算

第二章矩阵与向量 例1设=(1,3，-2,2)，B=（5,1,-2,0) 若已知a+2=3B,求向量y 解：由a+2y=3B得 y=69-0）-us,3-0-d3,-2.2 =40,42)=(7,0-2,-0

第二章 矩阵与向量 例1 设 =(1，3，-2，2) ,  = ( 5，1，-2，0 )， 若已知 +2=3，求向量 . 解: 由  +2 = 3 得 1 (3 ) 2     a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2, 2)] 2     1 (14,0, 4, 2) 2     (7,0,2,1)