《线性代数》课程电子教案（C）第一章 n阶行列式 1-2 行列式的性质

教学课型：理论实验课口习题课口 第1-2次课 实践课口技能谋口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 行列式按行（列）展开定理，行列式的性质，代数余子式的性 质定 重点： 行列式的性质的应用，代数与子式的性质定理 难点： 行列式的性质的应用，代数与子式的性质定理 教学目的要求： (1)熟悉行列式的展开定理. (2)熟悉行列式的性质. (3)熟悉代数余子式的性质定理 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第26页第4题(1)，(3)， 第27页第5题 参考资料： 同济大学编 《线性代数》高等教育出版社

第 1-2 次课 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式按行（列）展开定理，行列式的性质，代数余子式的性 质定理. 重点： 行列式的性质的应用，代数与子式的性质定理. 难点： 行列式的性质的应用，代数与子式的性质定理. 教学目的要求： （1）熟悉行列式的展开定理. （2）熟悉行列式的性质. （3）熟悉代数余子式的性质定理. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 26 页第 4 题（1），（3）， 第 27 页第 5 题 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第二节n阶行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较筒单，但对一般的行列式， 特别是高阶行列式，计算量相当大.为筒化行列式的计算，下面我们来讨论行列 式的性质，首先介绍一个重要的定理。 由上节n阶行列式的定义(14)式 a11a12.a1n 21a22. . . =a1A1+a12A2+.+anAn (1-4) am a2. 可知，阶行列式可表示为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因 此，(14)式又称为行列式按第一行的展开式，事实上，行列式可按任意一行（列） 展开】 定理1n阶行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式 的乘积之和，即 a1a12.an a21a22.a2 . =a141+a2A2++anAn,(=l,2,m） nan2. 或 a11a12. a2a22.a2n . .=4A+a2,A2,+.+anA,（U=1,2,m） am am2. 证明略 推论1如果n阶行列式中的i行所有元素除a,外都为零，那么行列式就 等于a,与其对应的代数余子式的乘积，即D=a,A 设n阶行列式

第二节 n 阶行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单，但对一般的行列式， 特别是高阶行列式，计算量相当大.为简化行列式的计算，下面我们来讨论行列 式的性质.首先介绍一个重要的定理. 由上节 n 阶行列式的定义（1-4）式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1             （1-4） 可知， n 阶行列式可表示为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因 此，（1-4）式又称为行列式按第一行的展开式，事实上，行列式可按任意一行（列） 展开. 定理 1 n 阶行列式等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式 的乘积之和，即 n n n n n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1  ai Ai  ai Ai   ainAin . 1 1 2 2 ，(i 1,2,  ,n) , 或 n n n n n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1  a j A j  a j A j   anjAnj . 1 1 2 2 ，( j 1,2,  ,n) . 证明略 推论 1 如果 n 阶行列式中的 i 行所有元素除 aij 外都为零，那么行列式就 等于 ij a 与其对应的代数余子式的乘积，即 D  aij Aij . 设 n 阶行列式

a1a12.an D=142a . ana2.an 若把中每一行元素换成同序数的列元素，则的新行列式 a1a21. D=a2a2.an2 . . a1ma2m·aun 称D(或记为D')为行列式D的转置行列式. 性质1行列式与它的转置行列式相等】 证明用数学归纳法证明. aanandz 当n=2时，a41aa月a04a ,结论成立， 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D和D,分别按第一行和第 一列展开，得 a21.a2Ha21.a2n D-2a,-4,-2a a21.a1.anml . a2H.ag.a a2m.am.am 由于M,和M,'是n-1阶行列式，且M,'是M,的转置行列式，给据假 设M=M,于是D=D. 例如上三角行列式

n n n n n n a a a a a a a a a D         1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 若把中每一行元素换成同序数的列元素，则的新行列式 n n n n n n a a a a a a a a a D         1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' 称 D' （或记为 T D ）为行列式 D 的转置行列式. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 用数学归纳法证明. 当 n =2 时， 21 22 11 12 a a a a = 12 22 11 21 a a a a ，结论成立. 假设对 n -1 阶行列式结论成立.对 n 阶行列式 D 和 D' ，分别按第一行和第 一列展开，得     n j ij j D a j M 1 1 1 ( 1)         n j n n j n j n n j j n j j a a a a a a a a a 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 . . . . . . . . . . ( 1) D'     n j ij j a j M 1 1 1 ( 1) '           n j n in n n j ij n j j ij n j i n j j a a a a a a a a a a a a a 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1) 由于 Mij 和 ' Mij 是 n -1 阶行列式，且 ' Mij 是 Mij 的转置行列式，给据假 设 Mij = M ij ' ，于是 D  D'. 例如 上三角行列式

a1a12.ai D= 0a22 00.anm 由推论1即得 a10. D=D'=4 0 . =a11422.ann a1na2n.am 性质1表明，行列式中行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立 的对列也成立，反之亦然 性质2互换行列式两行（列）的元素，行列式变号. 证明用数学归纳法证明. 当n=2时，a1a azanandz ,结论成立 假设对n-1阶行列式结论也成立.那么对于n阶行列式 a1a2.aa ana2.aa D= a1a,2.an 互换中的第5行和第I行，得 . aa2. D,= .

n n n n a a a a a a D 0 0 . . . . . 0 . . 2 2 2 1 1 1 2 1  由推论 1 即得 11 12 22 1 2 0 . 0 . 0 ' . . . . . n n nn a a a D D a a a   = a a ann . 11 22 性质 1 表明，行列式中行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立 的对列也成立，反之亦然. 性质 2 互换行列式两行（列）的元素，行列式变号. 证明 用数学归纳法证明. 当 n =2 时， 21 22 11 12 a a a a =- 12 22 11 21 a a a a ，结论成立. 假设对 n -1 阶行列式结论也成立.那么对于 n 阶行列式 n n n n s s sn l l n a a a a a a a a a a a a D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 ln 1 1 1 2 1  互换中的第 s 行和第 l 行，得 n n n n l l s s sn n a a a a a a a a a a a a D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 ln 1 2 1 1 1 2 1 1 

分别将D和D按第i行展开(i≠S,I),得 D=Ea,(-1)"IM.D=Ea(-D)"N. 其中Mg和N,分别为D和D,中元素ag的余子式，并且N是有Mg互换两行 得到的n-1阶行列式，由归纳假设M=-N,因此D=D, 以表示行列式的i行，以C,表示第i列，交换i,j两行记做)r,而 交换i,j两列记做C,C. 推论2行列式中有两行（列）对应元素相等，行列式的值为零 证明互换行列式D中对应元素相等的两行，则D=D,故D=0. 性质3行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘 以此行列式，即 a1a2.an a1a42. kaa kan kan=ka1a2.an . . anla2.amm am an32.anm 证明将左边行列式按第i行展开即得。 第i行（列）乘以k,记做kr(kC) 推论3行列式中某一行（列）的所有公共元素的公因子可以提到行列式 符号外面. 推论4若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式为零。 推论5若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则行列式为零 性质4若行列式中某一行（列）的元素a,都可分解为两元素b,与Cg之 和，即ay=b,+Cg(i,j=1,2,.,n),则该行列式可分解为相应的两个行列 式之和，即

分别将 D 和 D1 按第 i 行展开（ i  s,l ），得     n j ij i j D aij M 1 ( 1) ，     n j ij i j D aij N 1 ' ( 1) ， 其中 Mij 和 Nij 分别为 D 和 D1 中元素 ij a 的余子式，并且 Nij 是有 Mij 互换两行 得到的 n -1 阶行列式，由归纳假设 Mij  Nij ，因此 D  D1 . 以 i r 表示行列式的 i 行，以 i c 表示第 i 列，交换 i ， j 两行记做 i r  j r ，而 交换 i , j 两列记做 i c  j c . 推论 2 行列式中有两行（列）对应元素相等，行列式的值为零. 证明 互换行列式 D 中对应元素相等的两行，则 D  D1 ，故 D  0 . 性质 3 行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘 以此行列式，即 n n n n i i in n a a a ka ka ka a a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n n n i i in n a a a a a a a a a k . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 1 1 2 1  证明 将左边行列式按第 i 行展开即得. 第 i 行（列）乘以 k ，记做 i kr （ i kc ）. 推论 3 行列式中某一行（列）的所有公共元素的公因子可以提到行列式 符号外面. 推论 4 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式为零. 推论 5 若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则行列式为零. 性质 4 若行列式中某一行（列）的元素 ij a 都可分解为两元素 bij 与 ij c 之 和，即 ij a = bij + ij c （ i , j =1,2,., n ）,则该行列式可分解为相应的两个行列 式之和，即

D=b1+cnb2+C2.bm+cm an2 a1a12.aaa1a2.ain . =bba ba+Cncn .c 2 aa a2.an 证明将左端按第i行展开得： 26,+c,)4,=∑b,4+∑，4， i=l a1a2.ana1a2a 例如，行列式 10 2102102102 21+22-1-11+12 -1 12-1 11√211V211√2 112 2-h 7125 性质5把行列式任意行（列）的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列） 对应的元素=上行列式的值不变.即

n n n n i i i i in in n a a a b c b c b c a a a D . . . . . . . . . . . 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1     n n n n i i in n a a a b b b a a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 11 12 1  + n n nn i i in n a a a c c c a a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 11 12 1 证明 将左端按第 i 行展开得：   n j ij ij Aij b c 1 ( ) = n j bij Aij 1 +  n j ij Aij c 1 n n n n i i in n a a a b b b a a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 11 12 1  + n n nn i i in n a a a c c c a a a . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 11 12 1 . 例如，行列式 1 1 2 2 1 2 2 1 1 0 2   = 1 1 2 1 1 2 1 0 2 + 1 1 2 1 2 1 1 0 2  = 1 1 2 1 2 1 1 0 2  = 1 2 2 1 +2 1 1 1 2 =5-2 2 . 性质 5 把行列式任意行（列）的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列） 对应的元素=上行列式的值不变.即

a an kan D= anan .aa a a 证明由性质4得 a a12 an +kan an +ka2 .am+kah an an am ” aa2.an a12 . an an kan ka2 .<am . + aa2.a an a2. . . . an anz .ane an2 上式右边第一个行列式为，第二个行列式两行成比例，由推论5知行列式 为零，因此右边等于 性质5是筒化行列式的基本方法，若用数k乘第广行（列）加到第i行（列） 上，简记为5+kr(C,+kC,). 由定理1和上述性质，可推出下面的定理 定理2行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子 式的乘积之和等于零即 anAn+aA+.+ainAin=0(i j)

n n n n j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a D . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 11 12 1  = n n n n j j jn i j i i in jn n a a a a a a a k a a k a a k a a a a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1    证明 由性质 4 得 n n n n j j jn i j i i in jn n a a a a a a a k a a k a a k a a a a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1    = n n n n j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 11 12 1 + n n n n j j jn j i jn n a a a a a a ka ka ka a a a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 上式右边第一个行列式为，第二个行列式两行成比例，由推论 5 知行列式 为零，因此右边等于. 性质 5 是简化行列式的基本方法，若用数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列） 上，简记为 ( ) i j i j r  kr c  kc . 由定理 1 和上述性质，可推出下面的定理. 定理 2 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子 式的乘积之和等于零.即 ai1Aj1 + ai2Aj2 +.+ ain Ajn =0（ i  j ）， 或

auA+azjA2j+.+awAn=0 (i#j). 证明设 aia12.an a1a2.an D=. , anap.am 将D中第j行元素a(k=1,2,.,n)分别用ak(k=1,2,.,n)代 换，得到 a1a2.an aa2.am D1=. aa2. . am a2.anm 则D,中第i行与第j行相同，由性质2推论知 D1=0 (1-5) 再将D按第j行展开，有 D=anAn+a242+.+amAim (1-6) 于是由(1-5、(1-6)可得 anAn+a2A+.+aim Ain=0 (i j), 同理可证 auAj+ajAj+.+an An=0 (ij) 综合定理1和定理2，对于代数余子式有如下重要结论

a1i A1 j + a2 j A2 j +.+ anjAnj =0（ i  j ）. 证明 设 n n n n j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a D . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1  ， 将 D 中第 j 行元素 a jk （ k =1,2,., n ）分别用 ik a （ k =1,2,., n ）代 换，得到 n n n n i i in i i in n a a a a a a a a a a a a D . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1  则 D1 中第 i 行与第 j 行相同，由性质 2 推论知 D1  0. (1-5) 再将 D1 按第 j 行展开，有 D1  ai1Aj1 + ai2Aj2 +.+ ainAjn . (1-6) 于是由(1-5)、(1-6)可得 ai1Aj1 + ai2Aj2 +.+ ain Ajn =0（ i  j ）， 同理可证 a1i A1 j + a2 j A2 j +.+ anjAnj =0（ i  j ）. 综合定理 1 和定理 2，对于代数余子式有如下重要结论

20:4=,攻20=6 其中 1,i=j 8,-0i≠1.j1.2.) 例1设 213-5 D=4231 1102 0210 求1.A1+A2+2A4:2.2A1+3A2+4A4 解1.A1+A2+2A4=1·A,+1A2+0A3+2A4=0(第三行元素与第 四行对应元素的代数余子式的乘积之和为0)， 2.2A,+3A2+4A4=2(A1+A2+2A4)+A2=0+A2 23-5 =431=6. 102

 n k aik Ajk 1 = ij 或  n k aki Akj 1 = ij 其中  ij =      i j i j 0, 1, （ i , j =1,2,., n ）. 例 1 设 0 2 1 0 1 1 0 2 4 2 3 1 2 1 3  5 D  求 1. A41  A42  2A44 ； 2. 2A41  3A42  4A44 . 解 1. A41  A42  2A44 1 A41 1 A42  0A432 A44  0（第三行元素与第 四行对应元素的代数余子式的乘积之和为 0）. 2. 2A41  3A42  4A44  （2 A41  A42  2A44） A42  0  A42 6 1 0 2 4 3 1 2 3 - 5  