《线性代数》课程电子教案（C）第三章 矩阵的运算 3-3 初等矩阵

教学课型：理论课☑实验课口习题课口 第3-3节 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩 阵. 重点： 初等矩阵及其性质， 难点： 初等矩阵的性质。 教学目的要求： (1)掌握初等矩阵定义及其性质： (2)理解矩阵等价的充要条件： (3)熟悉用初等变换求逆矩阵 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 熟悉初等矩阵定义及其性质： 会用初等变换求逆矩阵】 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第 3-3 节 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩 阵. 重点： 初等矩阵及其性质， 难点： 初等矩阵的性质. 教学目的要求： （1）掌握初等矩阵定义及其性质； （2）理解矩阵等价的充要条件； （3）熟悉用初等变换求逆矩阵. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 熟悉初等矩阵定义及其性质； 会用初等变换求逆矩阵. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

§3.3初等矩阵 上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大矩 阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于 可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首 先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来 一、初等矩阵 定义1由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵 因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类， (1)互换单位矩阵E的第1行于第j行（或第i列与第j列）所得到的初等 矩阵 0 Ei,)= 1 (2)用非零常数k乘单位矩阵E的第í行（或第1列）所得到的初等矩阵 [1 E(ik)》= 1 (3)用常数k乘单位矩阵E的第j行（或第1列）加得到的第1行（或第j列） 的相应元素上去，所得到的初等矩阵

§3.3 初等矩阵 上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大.矩 阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于 可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首 先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来. 一、初等矩阵 定义 1 由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵. 因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类. （1）互换单位矩阵 E 的第 i 行于第 j 行（或第 i 列与第 j 列）所得到的初等 矩阵                              1 1 1 0 0 1 1 1 ( )       E i，j （2）用非零常数 k 乘单位矩阵 E 的第 i 行（或第 i 列）所得到的初等矩阵                  1 1 ( ( ))   E i k k （3）用常数 k 乘单位矩阵 E 的第 j 行（或第 i 列）加得到的第 i 行（或第 j 列） 的相应元素上去，所得到的初等矩阵

「1 1 k E(j(k),i)= 1 1 二、初等矩阵的性质 1.初等矩阵均可逆 由于 E0,=1≠0，E(k)以=k≠0，E(k),=1≠0， 所以初等矩阵都可逆，容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且 E亿，)=EG,E-(k》=E(iyE-'(U),)=EU-k),). 2.初等矩阵的作用 对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实 上，对m×n矩阵A进行一次初等行变换就相当于以相应的m阶初等矩阵左乘矩 阵A,即 a11a2.a1m au az.au a1a2.am a1a2.am A= =E(i,j)A; aa2 a amla2.amJ am a2.am」 [a1a2. an a12. 9n7 . M= . kan ka. E(i(k))A; . . a d2.amJ a2

                       1 1 1 1 ( ( ), )      k E j k i 二、初等矩阵的性质 1.初等矩阵均可逆 由于 E(i, j) 1  0, E(i(k))  k  0, E( j(k),i) 1  0, 所以初等矩阵都可逆.容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且 ( , ) ( , ); 1 E i j  E i j  )); 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k  E i  ( ( ), ) ( ( ), ). 1 E j k i  E j k i  2.初等矩阵的作用 对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实 上，对 mn 矩阵 A 进行一次初等行变换就相当于以相应的 m 阶初等矩阵左乘矩 阵 A ，即 E i j A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in j j jn n r r m m mn j j jn i i in n ~ ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2                                                                                ； E i k A a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n r k m m mn i i in n ~ ( ( )) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1                                                          ；

12 ka a2+ka (八k)、)A an . amla2. a .am 同理，对m×n矩阵A进行一次初等列变换相当于以相应的n阶初等矩阵右 乘矩阵A.因此有下面定理。 定理1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的 左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘 以相应的n阶初等矩阵 这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理1，可 以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来 推论1m×n矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶初等矩阵P,B,D 及n阶初等矩阵Q,Q2,.,Q,使得PB.PAg,Q2.Q,=B. 由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论 推论2m×n矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵p及n阶可 逆矩阵Q使得PAQ=B 在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一 m×n矩阵A都有 「10.0.01 0 1 . 0 .0 A-1=0 0.1.0 00 0.0 . 00.0.0 特别地，满秩矩阵A的标准型为单位矩阵E,于是有下面结论。 定理2n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘 积，即

E j k i A a a a a a a a k a a k a a k a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn j j jn i j i j in jn n r i krj m m mn j j jn i i in n ~ ( ( ), ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1                                                                                   . 同理，对 mn 矩阵 A 进行一次初等列变换相当于以相应的 n 阶初等矩阵右 乘矩阵 A.因此有下面定理. 定理 1 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的 左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵. 这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理 1，可 以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来. 推论 1 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 P P Pl , , , 1 2  及 n 阶初等矩阵 Q Q Qi , , , 1 2  ，使得 P1P2 Pl AQ1Q2 Qi  B. 由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论. 推论 2 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 p 及 n 阶可 逆矩阵 Q 使得 PAQ  B 在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一 mn 矩阵 A 都有                        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~                       A I 特别地，满秩矩阵 A 的标准型为单位矩阵 E ，于是有下面结论. 定理 2 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘 积，即

A=B. (3-4) 其中R,B,.,B都是n阶初等矩阵 注：(3-4)式就是可逆矩阵的分解式，即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩 阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用，常见的分解 下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法， 由(3-4)式可得 P.BRA=E, (3-5) P1.PPE=A, (3-6) (3-5及(3-6)式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵A化成单位矩阵E, 那么用同样的初等行变换作用于E,就将E化成A,由此可得求逆矩阵的另 种方法 用已知的n阶矩阵A及n阶单位矩阵E,作一个n×2n矩阵[4E].并对这个 矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵A化成单位矩阵E,同时右边部 分的单位矩阵E就化成了A,即 [4 E]-[E 4- 例1已知 [0121 A=114 2-10 求A 解 「012300. 「1140101 a=1i40i00i2100 2-100012-10001

A  P1P2 Pl （3-4） 其中 P P Pl , , , 1 2  都是 n 阶初等矩阵. 注：（3-4）式就是可逆矩阵的分解式,即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩 阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用.常见的分解 有：。 下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法. 由（3-4）式可得 , 1 1 1 2 1 Pl P P A  E     （3-5） 及 , 1 1 1 1 2 1    Pl P P E  A （3-6） （3-5 及（3-6）式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵 A 化成单位矩阵 E ， 那么用同样的初等行变换作用于 E ，就将 E 化成 1 A .由此可得求逆矩阵的另一 种方法. 用已知的 n 阶矩阵 A 及 n 阶单位矩阵 E ,作一个 n 2n 矩阵 A E .并对这个 矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵 A 化成单位矩阵 E ，同时右边部 分的单位矩阵 E 就化成了 1 A ，即 A E ~ E  1 A 例 1 已知             2 1 0 1 1 4 0 1 2 A 求 1 A . 解                           2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 2 1 0 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 r r A E

008098 0-3-80-2100-23-21 「1106-32] 1002-11 0104-21 00-23-215 1001-3 2 1-1 =EA 所以 2-11 A=4-21 -1-2 思考：是否可以用初等列变换来求逆矩阵？ 可逆矩阵也可以用一系列初等列变换化成单位矩阵.因而也可以用初等列变 换求逆矩阵.这是需要用A和E作成一个2n×n矩阵 「A1 E 只要用若干此初等列变换把该矩阵上半部的A化成E,那么同时就把下半部的E 化成，即有 [图[] 以上用初等行变换求逆矩阵的方法也可用来求解莱些特殊矩阵方程 设矩阵方程AX=B,其中A是满秩矩阵. 由于A是满秩矩阵，因此存在初等矩阵B,B,.,P,使 PB.PnA=E 将上迷初等矩阵依次右乘上面矩阵方程，得 PB.PAX=PB.PnB 于是 X=P.PnB

                           0 0 2 3 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 0 3 8 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 3 2 2 3 3 2 r r r r                                    2 1 1 2 3 0 0 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1 ~ 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 1 0 6 3 2 ~ 1 2 3 2 3 1 3 ) 2 1 ( 2 r r r r r r r   1  EA 所以                   2 1 1 2 3 4 2 1 2 1 1 1 A 思考：是否可以用初等列变换来求逆矩阵？ 可逆矩阵也可以用一系列初等列变换化成单位矩阵.因而也可以用初等列变 换求逆矩阵.这是需要用 A 和 E 作成一个 2n n 矩阵       E A 只要用若干此初等列变换把该矩阵上半部的 A 化成 E ，那么同时就把下半部的 E 化成 1 A ，即有             1 ~ A E E A 以上用初等行变换求逆矩阵的方法也可用来求解某些特殊矩阵方程. 设矩阵方程 AX  B ，其中 A 是满秩矩阵. 由于 A 是满秩矩阵，因此存在初等矩阵 P P Pm , , , 1 2  ，使 P1P2 Pm A  E 将上述初等矩阵依次右乘上面矩阵方程，得 P1P2 Pm AX  P1P2 Pm B 于是 X  P1P2 Pm B

由此可见，对于方程AX=B,用一系列初等行变换把A化为E,则这一系列初 等行变换同时将B化为所求的矩阵X,即 [4 B]-E X]. 例2解矩阵方程 6 2-11-10 「101111011 1 2 「101111. 01052 00i-20001-20 =EX 所以 「31] X=52 -20 思考：是否可以用初等变换来求解其它形式的矩阵方程？还可以求解下面两 类矩阵方程 设矩阵方程XA=B,其中A是满秩矩阵。 对矩阵A只进行初等列变换，将A化为单位矩阵E,这一系列初等行变换同 时将B化为所求的矩阵X,即 日图 设矩阵AXC=B,其中A,C是满秩矩阵 思考：这种矩阵方程怎样来求解呢？

由此可见，对于方程 AX  B ，用一系列初等行变换把 A 化为 E ，则这一系列初 等行变换同时将 B 化为所求的矩阵 X ，即 A B ~ E X . 例 2 解矩阵方程                         1 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 X 解   EX  AB r r r r r r r r r r                                                         0 0 1 2 0 0 1 0 5 2 1 0 0 3 1 ~ 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 ~ 0 1 1 3 2 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 ~ 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 3 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2 所以             2 0 5 2 3 1 X 思考：是否可以用初等变换来求解其它形式的矩阵方程？还可以求解下面两 类矩阵方程. 设矩阵方程 XA  B ，其中 A 是满秩矩阵. 对矩阵 A 只进行初等列变换，将 A 化为单位矩阵 E ，这一系列初等行变换同 时将 B 化为所求的矩阵 X ，即       B A ~       X E 设矩阵 AXC  B ，其中 A ,C 是满秩矩阵. 思考：这种矩阵方程怎样来求解呢？