《线性代数》课程步进教程（C）第二章 矩阵与向量（内容精讲）

第二章矩阵与向量 内容精讲 1.由m×n个数a(i=l,2,mj=1,2,n)排成的m行的n列的数表 au a12.aun 4=01a24 Lala2.am 叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵. 2.下类三种变换成为矩阵的初等行（列）变换 (1)对调某两行（列）： (2)以非零数k乘以某一行（列）的所有元素； (3)把某以行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上 去 3.如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称A与B等价， 4.任意矩阵可经有限次初等行变换化为阶梯矩阵. 5.任意矩阵可经有限此处等变换化为行最简形 6.任意矩阵可经有限次初等变换化为标准形 7.n个有顺序的数a,a2,a,an组成的有序数组&=(a1,4,4,a,）叫 做n维向量. 8.设a=(a,a2,a,a),B=(,b2,b,b,)都是n维向量，向量 (a1+b,a+b,a3+b,an+b,)称为向量a与B的和，记为a+B 9.设a=(a,a2,a3,an)称-a=(-4,-a,-a,-an)为a的负向量。 10.规定-B=a+(-B) 11.设c=(a,a2,a,an)为n维向量，1eR，向量(a,a2,a3,an) 叫做数元与a的乘积，记做a 12.向量的加法及向量乘法两种运算统称为向量的线性运算，满足如下规律 (1)a+B=B+a (②)(a+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=a

第二章 矩阵与向量 内容精讲 1．由 mn 个数 ij a ( i 1,2,  ,m; j 1,2,  ,n )排成的 m 行的 n 列的数表              n n n n n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵. 2．下类三种变换成为矩阵的初等行（列）变换 （1） 对调某两行（列）； （2） 以非零数 k 乘以某一行（列）的所有元素； （3） 把某以行（列）所有元素的 k 倍加到另一行（列）的对应元素上 去； 3． 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ，就称 A 与 B 等价 . 4．任意矩阵可经有限次初等行变换化为阶梯矩阵. 5．任意矩阵可经有限此处等变换化为行最简形. 6．任意矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 7．n 个有顺序的数 a a a an , , ,., 1 2 3 组成的有序数组 ( , , ,., )   a1 a2 a3 an 叫 做 n 维向量. 8 ． 设 ( , , ,., )   a1 a2 a3 an , ( , , ,., )   b1 b2 b3 bn 都 是 n 维 向 量 ， 向 量 ( , , ,., ) a1  b1 a2  b2 a3  b3 an  bn 称为向量  与  的和，记为    9．设 ( , , ,., )   a1 a2 a3 an 称 ( , , ,., )   a1 a2 a3 an 为  的负向量。 10．规定      () 11．设 ( , , ,., )   a1 a2 a3 an 为 n 维向量，  R ，向量 ( , , ,., ) a1 a2 a3 an 叫做数  与  的乘积，记做  12．向量的加法及向量乘法两种运算统称为向量的线性运算，满足如下规律 (1)       (2)        (3)  0 

(④)a+(=0 (5)1a=a (6)ua)=(z (7)(a+B)=ia+iB (8)(a+)a=a+ua 13.设V为n维向量集合，如果V非空，且V对于向量的加法及数与向量的 乘法运算封闭，那么就称集合V为向量空问 14.对于向量4,4,44，若有一组数名，2,2n使得 a=a+2a+a3+.+1nan 则称向量a是向量a,42,a,an的线性组合，或称a可由a,42,a,an线性 表示. 15.设有n为向量组g,a2,C。·若存在不全为零的m个数k,k,k。,使 k@+k凸++kan则称a,凸2，an线性相关，否则称为线性无关. 16.向量组a,4,an(m22)线性相关的充要条件是向量组中至少有一 个向量可由其余m-1个向量线性表示 17.设a,a,a线性无关，而a,a,B线性相关，则B能由 a,42,.,an线性表示且表示唯一。 18.设有两个n为向量组 (I)4,42,.,a, (IID月，B,.,B 若(I)中每个向量都能由向量组(I)线性表示，则称向量组(I)可由向量祖(II) 线性表示。若向量组(I)与向量组(I)互相线性表示，则向量组(I)与（①I) 等价。 19.设向量组4，a,g,能由向量组月，B,月线性表示，且4，凸，.，a 线性无关，则向量组a,凸，.，a中向量的个数大于向量组耳，B,.,B中向量 的个数，即r≤s. 20.设有向量组T,如果 1)有r个向量%，2，4，线性无关：

(4)     0 (5) 1  (6)    (7)        (8)        13．设 V 为 n 维向量集合，如果 V 非空，且 V 对于向量的加法及数与向量的 乘法运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间 14．对于向量 a a a am , , ,., 1 2 3 ，若有一组数     m , , ,., 1 2 3 使得    a   a   a    mam . 1 1 2 2 3 3 则称向量  是向量 a a a am , , ,., 1 2 3 的线性组合，或称  可由 a a a am , , ,., 1 2 3 线性 表示. 15．设有 n 为向量组    m , , , 1 2  .若存在不全为零的 m 个数 m k , k ,., k 1 2 ，使 m m k11  k22  k  则称    m , , , 1 2  线性相关，否则称为线性无关. 16．向量组    m , , , 1 2  ( m  2 ) 线性相关的充要条件是向量组中至少有一 个向量可由其余 m -1 个向量线性表示 17．设    m , , , 1 2  线性无关，而    m , , , 1 2  ,  线性相关，则  能由    m , , , 1 2  线性表示且表示唯一。 18．设有两个 n 为向量组 （I）   r , , , 1 2  ， (II)    s , , , 1 2  ， 若（I）中每个向量都能由向量组(II)线性表示，则称向量组（I）可由向量祖(II) 线性表示。若向量组（I）与向量组(II)互相线性表示，则向量组（I）与(II) 等价。 19．设向量组   r , , , 1 2  能由向量组    s , , , 1 2  线性表示，且   r , , , 1 2  线性无关，则向量组   r , , , 1 2  中向量的个数大于向量组    s , , , 1 2  中向量 的个数，即 r  s . 20．设有向量组 T ，如果 1) 有 r 个向量   r , , , 1 2  线性无关；

2)T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关，则称4,4，a是向量 组T的一个最大无关组. 2L.向量组T的最大无关组所含向量的个数r,称为向量组的秩，记为(T) 22.设有m×n矩阵A称A的行向量组的秩为A的行秩，列向量组的秩称为A 的列秩。 23.初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 24.初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）向量两间的线性关系 25.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，行秩和列秩统称为矩阵的秩

2) T 中任意 r +1 个向量（若有的话）都线性相关，则称   r , , , 1 2  是向量 组 T 的一个最大无关组. 21．向量组 T 的最大无关组所含向量的个数 r ，称为向量组的秩，记为 R(T) . 22．设有 mn 矩阵 A 称 A 的行向量组的秩为 A 的行秩，列向量组的秩称为 A 的列秩. 23．初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 24．初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）向量两间的线性关系. 25．矩阵的行秩等于矩阵的列秩，行秩和列秩统称为矩阵的秩