《线性代数》课程步进教程（C）第一章 行列式（内容精讲）

第一章行列式 内容精讲 1.行列式的定义：由n2个元素a,亿，j=1,2,.,m组成的符号 a a2.aim a2a2.a3n . 称为n阶行列式. 将此n阶行列式中元素a,所在的第i行和第j列划去后所留下的n-l阶 行列式称为元素a,的余子式，记作Mn,并称An=(←1Mn为元素an的代数余 子式. 注n阶行列式是由n2个元素a所决定的一个数.n=2时，定义 41a2Fa142-aa, an an2 若n-1阶行列式已定义，则n阶行列式 |a1a.an da d2dd . aa:.aam 其中A,U=12,.,n)为a,亿，j=12,m)的代数余子式 2.行列式的性质 (1)阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和： (2)行列式与其转置行列式相等： (3)互换行列式两行（列）的元素，行列式变号； (4)行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数k,等于用k乘此 行列式： (5)若行列式中有两行（列）完全相同，或有一行（列）的元素为零，或有

第一章 行列式 内容精讲 1. 行列式的定义: 由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, ,n) ij   组成的符号 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为 n 阶行列式. 将此 n 阶行列式中元素 ij a 所在的第 i 行和第 j 列划去后所留下的 n-1 阶 行列式称为元素 ij a 的余子式,记作 Mij ,并称   ij i j Aij M   1 为元素 ij a 的代数余 子式. 注 n 阶行列式是由 2 n 个元素 ij a 所决定的一个数. n=2 时，定义 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a   若 n-1 阶行列式已定义，则 n 阶行列式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1           其中 A1 j ( j 1,2,  ,n） 为 a (i, j 1,2, ,n) ij   的代数余子式 2.行列式的性质 （1）阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和； （2）行列式与其转置行列式相等； （3）互换行列式两行（列）的元素，行列式变号； （4）行列式中某一行 （列） 的所有元素都乘以同一数 k ，等于用 k 乘此 行列式； （5）若行列式中有两行（列）完全相同，或有一行 (列) 的 元素为零，或有

两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零： (6)若两个n阶行列式D,D,除第i行（列）外其余对应的行列完全相同， 则D,+D可表示成一个n阶行列式，其第1行（列）为D,和D,的第1行（列）对 应元素之和，而其余各行（列）则与D,(或D,)完全一样： (7)把行列式任一行（列）的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列）对 应的元素上，行列式的值不变； (8)行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘 积之和为零， 3.几种特殊的行列式 (1)二阶行列式 u=ada-diada az az (②)三阶行列式 an a2 a3 a31a32a3 (3)上三角行列式 a22 0 (4)下三角行列式 0 =41022"0w; (5)对角行列式 a 0 a22 =a1422am

两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零； （6）若两个 n 阶行列式 1 2 D , D 除第 i 行(列)外其余对应的行列完全相同, 则 D1  D2 可表示成一个 n 阶行列式，其第 i 行(列)为 D1 和 D2 的第 i 行(列) 对 应元素之和 ,而其余各行(列)则与 D1 (或 D2 ) 完全一样； （7） 把行列式任一行(列)的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列）对 应的元素上,行列式的值不变； （8）行列式中某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘 积之和为零， 3. 几种特殊的行列式 (1) 二阶行列式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a   ； (2) 三阶行列式 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a       ； (3) 上三角行列式 n n n n a a a a a a   1 1 2 2 2 2 1 1 0   ； (4) 下三角行列式 n n n n a a a a a a   1 1 2 2 2 2 1 1 0   ； (5) 对角行列式 n n n n a a a a a a   1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 

4.行列式展开定理 Dn=a,A,+a,A,++aA(按行展开)： Dn=aA+a2A2+.+amAn(按列展开)， 5.Cramer法则 (1)非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组(b,b2,.,bn不全为0) [ad1+a2x2+.+anxn=b a2+a22x2++an=b2 ax+ax++ax=6 若其系数行列式 a1a2.aa D=:a0 . aa2.an 则方程组有唯一解： 高号x会会： 其中D,为D中的第jU=1,2,m)列元素用线性方程组的常数项，b2,.,bn 替换而得到的行列式 (②)齐次线性方程组 an+a2x2+.+anx。=0 a2+a222+.+a2nxn=0 am+an2x2++am=0 如果D≠0，则齐次方程组只有零解，反之也成立：也就是，齐次线性方程组有 非零解的充要条件是系数行列式D=0

4. 行列式展开定理 Dn  a1 j A1 j  a2 j A2 j  anjAnj （按行展开）； Dn  ai1Ai1  ai2Ai2  ainAin （按列展开）， 5. Cramer 法则 (1) 非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组（ b b bn , , , 1 2  不全为 0）                    n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b         1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 若其系数行列式 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1   n n n n n n a a a a a a a a a D        则方程组有唯一解： D D x D D x D D x n  ,  , ,  1 2 1  ； 其中 Dj 为 D 中的第 j ( j 1,2,  ,n) 列元素用线性方程组的常数项 b b bn , , , 1 2  替换而得到的行列式. (2) 齐次线性方程组                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     如果 D  0，则齐次方程组只有零解，反之也成立；也就是，齐次线性方程组有 非零解的充要条件是系数行列式 D  0