《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章习题课

第五章习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、有关定积分计算和证明的方法 一、与定积分概念有关的问题的解法 第五章习题课

方本堂 主要内容 问题1： 问题2： 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 的定 供数 牛顿-莱布尼茨公式 f(x)dx=F(b)-F(a) 计算法 定积分的

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  主要内容

一、与定积分概念有关的问题的解法 1.用定积分概念与性质求极限 2.用定积分性质估值 3.与变限积分有关的问题 求 dx. 解：因为xe0,时0ste 1+ex≤x”所以 n+1 利用夹逼准则得 dx=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 例1. 求 d . 1 lim 1 0 x e x e x n x n  → + 解: 因为 时, x n x e x e +  1 0 所以 x e x e x n x d 1 1 0  + 0  x x n d 1 0   1 1 + = n 利用夹逼准则得 d 0 1 lim 1 0 = +  → x e x e x n x n , n  x

等数学 主讲人：苏本堂 例2.求极限 解：原式=[ 1 从上式可以看出它是西数 在[0,1]上的 一个积分和式，于是 20 6

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2 2 2 2 2 4 1 4 2 1 4 1 1 [ lim n n n n − n + + − + → − 例2. 求极限  ] 4 ( ) 1 4 ( ) 1 ) 2 4 ( 1 1 4 1 [ 1 2 2 2 2 n n n i n n n − + + − + + − + − 解：原式=   一个积分和式,于是 从上式可以看出它是函数 2 在[0,1]上的 4 1 ( ) x f x − = 原式 dx x  − = 1 0 2 4 1 0 1 2 arcsin x = 6  =

2n 2 例3.求极限lim( 十十 n->oo n+1n+ n+1 n 1 n 1 n 解： lim >2m n->oon+1 ∑2r≤原式≤lim i= n→ni=l 左边-4三2日2”dx non+1= In 2 右边-四22-血之2-2r1x点 n→on i=1 n→0 i=1 n 2 2, 2 1 利用夹逼准则得 lim 十十 n->a0 n+1n+3 n+ In 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 求极限 ). 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → +  解： 原式 n n 1 lim →   = n i n i 1 2 1 lim + = → n n n  = n i n i 1 2 x x 2 d 1 0  = 1 1 lim n→ n +   = n i n i 1 2 左边 右边= n n 1 lim →  = n i n i 1 2 → = n lim = n i n i 1 n 2 1 x x 2 d 1 0  = 利用夹逼准则得 ) 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → + 

主计 方本堂 例4证明2ears22 证：令f(y)=ex,则f'(w)=(2x-1)e2-x 令f()=0,得x=2 1 f)-1,2) 1 max f(x)=e2 [0,2] [0,2] 故 eds

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 证明 证: 令 则 令 得 故

例5.设fy=sn(x-)d,求 d 解：令xfFu则f=sin(x-dt=-∫sin du -sin u du df(x) dsin du sin x2 dx dx 创6.设-d求心dc 解原式-e05=e。-5ah

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 设 求 解:令x-t=u, 则 例6. 设 求 解: 原式

主讲人：苏本堂 ●sinx tan tdt 例7. lim Jo tanx x>0+0 Jo sin tdt 解： 型不定型 原式=lim tan(sinx)·cosx 00sin(tan x).sec2x -m儒-mm x→0+0 x>0+0 tanx =1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 tdt tdt x x x   → + tan 0 sin 0 0 0 sin tan lim 解： ) 0 0 ( 型不定型 x x x x x 2 0 0 sin(tan ) sec tan(sin ) cos lim   = → + 2 1 0 0 ] sin(tan ) tan(sin ) [ lim x x x→ + = = 1 例7. 原式 2 1 0 0 ] tan sin [ lim x x x→ + =

例8已知)-求a 解：两端积分6fe=小1+-f达 即 jr=子+a 所以 ∫faxk= 2 4-元 例9.求fx)k其中f()=∫"e"dr 解：由f()=∫ert→f'(x)=e fx)a=xfx。-nxf'(x)d =-fxedx =(e-D)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例8. 已知 解: 两端积分 求 即 所以  1 0 f (x)dx. 由  − = x t f x e dt 1 2 ( ) 2 ( ) x f x e −   =  = −  1 0 1 0 x f (x) xf (x)dx  − = x t f x e dt 1 2 例9. 求 其中 ( ) 解:  − = − 1 0 2 xe dx x ( 1) 2 1 1 = − − e  1 0 f (x)dx

办方本堂 例10.求可微函数f)使满足/产()=6f02+c0s sint dt 解：等式两边对x求导，得 2f(x)f(x)-f(x)2-csx sinx 不妨设f(x)0,则 1 sinx f'(x)= 22+cosx a到=可adw=j20ords=-2+es动-C 2 注意f0)=0,得C=ln3 .f(x)=-In(2+cosx)+In3 3 ln 22+cos x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例10.求可微函数 f (x) 使满足 解: 等式两边对 x 求导, 得 2 f (x) f (x) x x f x 2 cos sin ( ) + = 不妨设 f (x)≠0, 则  f (x) = f (x)dx  + = x x x d 2 cos sin 2 1 = − ln(2 + cos x) +C 2 1 注意 f (0) = 0, 得 ln3 2 1 C = ln3 2 1 ln(2 cos ) 2 1  f (x) = − + x +