《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第5章 相似矩阵与二次型_5.5 二次型及其标准形

5.5 二次型及其标准形

LOGO 5.5 二次型及其标准形

二次型的定义 ● 二次型的矩阵表示 ·二次型的标准形 惯性定理

• 二次型的定义 • 二次型的矩阵表示 • 二次型的标准形 • 惯性定理

问题的起源 二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 坐标旋转 23中22电0 -a'x'2+c'y2 =d x=x'cos0-y'sine ly =x'sine+y'cos0

二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. ᵰ ᵰ ᵰ ᵰᵰ2 + 2ᵰᵰᵰ + ᵰᵰ2 = ᵰ ᵰ′ ᵰ′ ᵰ 坐标旋转 ᵰ ᵰ ᵰ 问题的起源

一、二次型的定义 定义5.5.1含有n个变量x1,x2,.,xn的二次齐次多项式 f(x1,X2,.,xn) =a11x+2a12x1x2+2a13x1x3+.+2a1nx1xn +a22x3+2a23x2X3+.+2a2n2x2xn +.+annx7 称为关于x1,x2,.,xn的n元二次型，简称为二次型 ·只含有平方项的二次型称为标准形 ·实二次型、复二次型

一、二次型的定义

一、二次型的定义 例1x子+x1x2+3x1X3+2x3+4x2x3+x3是三元 实二次型， 定义设x1,x2,.,xn和y1,y2,yn是两组变量， x1=C11y1+C12y2+.+C1ny, x2=C21y1+C22y2+.+C2nyn, (1) Xn =Cn1y1 Cn2y2 +Cnnyn 称为由x1,x2,.,xn到y1,y2,.,yn的一个线性替换， 简称为线性替换

一、二次型的定义

一、二次型的定义 X1 C11y1 c12y2 +.+cinyn, X2 =C21y1+c22y2 +.c2nyn, (1) Xn =Cniy1 Cn2y2 +.+Cnnyn 专 C11 C12 . Cin y1 令 x= ,C= C21 C22 C2n ,y= Xn Cn1 Cn2 Cnn (1)式可以写成矩阵形式 x=Cy

一、二次型的定义

二、二次型的矩阵表示 f(x1,X2,.,xn) =a11x7+2a12x1x2+2a13x1x3+.+2a1nx1xn +a22x3+2a23x2x3+.+2a2nx2xn +.+ann2x号 令a=aj,(i<j),由于xx=xx,所以二次型可以写成 f(x1,x2,.,xn)=a11x2+a12x1X2+.+a1nx1xn +a21x2x1+a22x++aznx2Xn 十. +anixnx1+an2xnx2++annx

二、二次型的矩阵表示

二、二次型的矩阵表示 定义将二次型对称形式的表达式中的系数写成一 个矩阵为 011 Q12 01m A= 021 022 02m ani an2 ann A称为二次型f(x1,x2,.,xn)的矩阵 由于a)=aj,所以二次型的矩阵是对称矩阵

二、二次型的矩阵表示

二、二次型的矩阵表示 例2例1中二次型 f(x1,X2,x3)=x+X1x2+3x1x3+2x2+4x2x3+x3 的矩阵为 1 2 3-2 1 A= 2 2 -23-2 2

二、二次型的矩阵表示

二、二次型的矩阵表示 反之，如果已知一个对称矩阵 -近 根据二次型矩阵的定义，我们也可以写出A所对应的 二次型 f(x1,x2,x3)=2x1+2x1x2-2x1x3+x3+x3 ·实二次型和实对称矩阵是一一对应的

二、二次型的矩阵表示