《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第1章 n阶行列式_1.2 n 阶行列式的性质

1.2n阶行列式的性质

LOGO 1.2 𝑛 阶行列式的性质

·行列式的性质 ·行列式按一行（列）展开 ·Laplace定理

• 行列式的性质 • 行列式按一行（列）展开 • Laplace定理

一、行列式的性质 2 -1 2 -1 1、D1= -1 235 39 2、D3= 81,D,=6 3、D5= ka 4,=lk知dl

一、行列式的性质 1、𝐷1 = 2 −1 0 −1 1 3 2 3 5 ，𝐷2 = 2 −1 2 −1 1 3 0 3 5 2、𝐷3 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ，𝐷4 = 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 3、𝐷5 = 𝑘𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑑 4、𝐷6 = 𝑎 𝑏 𝑘𝑎 + 𝑐 𝑘𝑏 + 𝑑

一、 行列式的性质 定义设n阶行列式 a11 12 01n D 021 022 02n : ani an2 ann 把D的行与列互换，得 011 021 Ani D'= Q12 Q22 an2 ain a2n ann 称D'(或D)为行列式D的转置行列式

定义 设𝑛阶行列式 𝐷 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 , 把𝐷的行与列互换，得 𝐷 ′ = 𝑎11 𝑎12 ⋮ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋮ 𝑎2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 称𝐷 ′ (或𝐷 𝑇 )为行列式𝐷的转置行列式. 一、行列式的性质

一、行列式的性质 性质1.2.1行列式与它的转置行列式相等 例1上三角形和下三角形. ·行列式中行与列的地位是一样的 性质1.2.2互换行列式两行（列）的元素，行列式变号. (14)或c-G) 推论行列式中有两行列)对应元素相等，行列式为零

性质1.2.1 行列式与它的转置行列式相等. 例1 上三角形和下三角形. • 行列式中行与列的地位是一样的. 性质1.2.2 互换行列式两行(列)的元素，行列式变号. （𝑟𝑖 ↔ 𝑟𝑗或𝑐𝑖 ↔ 𝑐𝑗） 推论 行列式中有两行(列)对应元素相等，行列式为零. 一、行列式的性质

行列式的性质 性质1.2.3用一个数去乘行列式，相当于用这个数 去乘行列式的某一行（列）.(kr或kc) 011 012 ain 011 012 01n kai kaiz kain =k 0i1 0i2 ain : : 0m1 an2 ann ani an2 ann 推论1 行列式中某一行列)元素的公因子可以提到 行列式符号的外面

性质1.2.3 用一个数去乘行列式，相当于用这个数 去乘行列式的某一行(列).(𝑘𝑟𝑖或𝑘𝑐𝑖 ) 𝑎11 ⋮ 𝑘𝑎𝑖1 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 ⋮ 𝑘𝑎𝑖2 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑘𝑎𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 = 𝑘 𝑎11 ⋮ 𝑎𝑖1 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 ⋮ 𝑎𝑖2 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑎𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 推论1 行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到 行列式符号的外面. 一、行列式的性质

一、行列式的性质 推论2 若行列式中有一行（列）元素全为零，则行列 式为零 推论3 若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则 行列式为零

推论2 若行列式中有一行(列)元素全为零，则行列 式为零. 推论3 若行列式中有两行(列)对应元素成比例，则 行列式为零. 一、行列式的性质

行列式的性质 性质1.2.4（行列式的分拆） 011 Q12 01n : bi ci bi ,+Ci2 bin Cin : ani an2 ann 011 012 . ain 011 Q12 01n : bin biz bin + Cil Ci2 Cin ani an2 ann lani an2 ann

性质1.2.4 (行列式的分拆) 𝑎11 ⋮ 𝑏𝑖1 + 𝑐𝑖1 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 ⋮ 𝑏𝑖2 + 𝑐𝑖2 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑏𝑖𝑛 + 𝑐𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎11 ⋮ 𝑏𝑖1 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 ⋮ 𝑏𝑖2 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑏𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 + 𝑎11 ⋮ 𝑐𝑖1 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 ⋮ 𝑐𝑖2 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑐𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛 一、行列式的性质

一、行列式的性质 x 3 1 例2 已知 N 0 1 =1,求 2 1 11-x1-y 1-Z D 4 1 1 1

例2 已知 𝑥 3 1 𝑦 0 1 𝑧 2 1 = 1，求 𝐷 = 1 − 𝑥 1 − 𝑦 1 − 𝑧 4 1 3 1 1 1 . 一、行列式的性质

一、 行列式的性质 性质1.2.5把行列式某一行（列）的各元素同乘以一 个常数后加到另一行列)对应的元素上，行列式的值 不变 (m+k或c+kG)

性质1.2.5 把行列式某一行(列)的各元素同乘以一 个常数后加到另一行(列)对应的元素上，行列式的值 不变. (𝑟𝑖 + 𝑘𝑟𝑗或𝑐𝑖 + 𝑘𝑐𝑗 ) 一、行列式的性质