《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第5章 相似矩阵与二次型_5.1 向量的内积与正交向量组

第5章 相似矩阵与二次型

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·向量的内积与正交向量组 ·方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的相似对角形 二次型及其标准形 正定二次型

• 向量的内积与正交向量组 • 方阵的特征值与特征向量 • 相似矩阵 • 实对称矩阵的相似对角形 • 二次型及其标准形 • 正定二次型

5.1向量的内积与正交向量 组

LOGO 5.1 向量的内积与正交向量 组

向量的内积 正交向量组 正交矩阵

• 向量的内积 • 正交向量组 • 正交矩阵

一、向量的内积 1、定义 定义5.1.1 设有n维向量 a=(a1,a2,.,an)T,B=(b1,b2,.,bn)T, 令 [a,β]=a1b1+a2b2+.+anb 称[u,B]为向量与β的内积. 内积是向量的一种运算，其结果是一个实数，也 称为一个二元实函数， 当心，B都是列向量时，[，B]=xTB

一、向量的内积

一、向量的内积 2、内积的运算规律 (1)对称性 [a,B]=[B,a]i (2)线性性 [ka,B]=k[a,β]； (3)线性性 [a+B,y]=[a,y]+[β，y]: (4)正定性[a,]≥0，当且仅当a=0时[a,]=0

一、向量的内积

一、向量的内积 3、长度 定义5.1.2 非负实数 √a,网=a+a吃+.+a晚 称为向量的长度（或范数），记为‖

一、向量的内积

一、向量的内积 4、长度的性质 (1)非负性：la≥0，当且仅当a=0时，‖a‖=0 (2)齐次性：对vk∈R,IIkall=Ik|‖ael; (3)三角不等式：对v,B∈V,都有 la+βl≤lax+lBl. 当laxl=1时，称a为单位向量. ·当？≠0时，忌是单位向量，称为将a单位化

一、向量的内积

二、正交向量组 定义 如果[，B]=0,则称向量与B正交 零向量与任何向量都正交； 只有零向量与自身正交， 定义非零向量a和B的夹角规定为 [c,B] =arccos llalllle 0≤≤π

二、正交向量组

二、正交向量组 定义5.1.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组. 若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量 组为标准正交向量组. 例如： 10 1= ,2= 0 01:0 0:01 是标准正交向量组

二、正交向量组