《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第2章 矩阵与向量_2.3 向量组的线性相关性

2.3 向量组的线性相关 性

LOGO 2.3 向量组的线性相关 性

·线性表示 ·线性相关与线性无关 ·向量组的等价与最大无关组 ·基，维数和坐标

• 线性表示 • 线性相关与线性无关 • 向量组的等价与最大无关组 • 基，维数和坐标

一、线性表示 三维几何空间中： 若B与a共线，a≠0，则B=k(k是数) 若B与a1,2共面，且a1,a2不共线，那么 B=k11+k22(k1,k2是数)

ᵽ ᵽ ᵽᵽ ᵽᵽ ᵽ 一、线性表示

一、线性表示 定义2.3.1设C1,a2,.,ag,B是一组n维向量，如果 存在一组数k1,k2,.,k使得 B=k1Qa1+k202+.+ksCs 则称向量β是向量组α1,2，.，的线性组合，也称 向量β可以由向量组a41,a2,.,c线性表示。 例如： a1=(2,-1,3,1),02=(3,-2,5,4),3=(1,0,1,-2) a3=2C1-02

一、线性表示

一、线性表示 ·零向量可以由任一向量组线性表示 ·任一n维向量可以由n维单位向量组线性表示 1=(1,0,.,0),e2=(0,1,.,0),.,n=(0,0,.,1) 称为n维单位向量组. 对任一n维向量&=(a1,a2,.,an),有 a=a1e1+a22+.+anen ·n维向量组a1,2,.,a4s中每一个向量都可以由这个 向量组本身线性表示 =0·01+.1·0i+.+0·as

一、线性表示

一、线性表示 给定一个向量B和一组向量1，a2,.,如何判断 B能否由Q1,Q2,.,a线性表示？ 例1设1=(1,2,1)，a2=(1,-1,1),Q3=(1,0,2), B=(3,4,6),问β能否由ax1,a2,a3线性表示？

一、线性表示

线性表示 ·一般地，设 a11 012 as 021 a22 a2s b2 01= ,02= .,0s= ,B= ani an2. ans bn 则B=k11+k22+.+kss (1) 就等价于方程组 a11k1+a12k2+.+a1sks=b1, a21k1+a22k2+.+a2sks=b2, (2) anik1+anzk2 +ansks bn (1)式称为方程组（2)的向量表达式：

一、线性表示

一、线性表示 B=kia+k2a2+.+ksas (1) a11k1+a12k2+.+a1sks=b1, a21k1+a22k2+.+a2sks=b2, (2) aniki+anzk2 +ansks bn. ·一个向量β与一组向量C1,2,.,的关系有以下三种情况： 1、β不能由1,2，.，线性表示→方程组(2)无解； 2、B可以由1，心2，.，心线性表示，且表示法唯一 台方程组(2)有唯一解； 3、B可以由1，心2，.，心线性表示，但表示法不唯一 一方程组（2)有无穷解

一、线性表示

二、线性相关与线性无关 三维几何空间中： 若B与a共线，a≠0，则B=k. 称a和β线性相关， 若B与Q1,&2共面，且1，a2不共线，那么 B=k11+k22 (k1,k2是数) 称a1,a2,β线性相关

二、线性相关与线性无关

二、线性相关与线性无关 定义2.3.2如果向量组a1,2,.,a(s≥2)中有一个向量可以 由其余向量线性表示，那么称向量组1,2，.，Q心，线性相关， 如果向量组α1,2，.，中任何一个向量都不能由其余向量线 性表示，则称向量组a1,心2，.，Q线性无关. 例如(1)01=(2，-1,3,1)，a2=(3,-2,5,4),3=(4,-2,6,2) 03=201, Q1,Q2,3线性相关. (2）e1=(1,0),e2=(0,1)线性无关

二、线性相关与线性无关