《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章 n阶行列式_第四节 克拉默法则_1.4 克拉默法则

△>△第一章行列武 §1.4克拉默法则 一、克拉默法则 二、 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 、 克拉默法则 i41x1+a12x2+L+41mn=b 设线性方程组 azx+axx+azn=b LLLLLLLLLLLL (1) amx+anx2++amxn =bn 若常数项b,b,L,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,L,b全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 方程组(1)可简写为 ayx,b i=1,2,L,n j=1 由线性方程组()的系数构成的行列式 a1102L1m 02142 L D= 02n LLLLLLL a L 称为方程组)的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 称为方程组(1)的系数行列式. 方程组(1)可简写为

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D10那么线性方程组（①）有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D 1= ,x= D ,x3= D; D ,L ,x= D 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 anL av b amt ain D,= LLLLLLLLLLL

第一章 行列式 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为

第一章行列式 证明：1、存在性 QD=bAu+b4+L+bubAy s=1 5二代入第2，个方程，海 D aa dD j=1 =1 nn 且64，-D司4，月ay4=Dh,D=b D j=1s=1 D 故x,=是方程组的解 D

第一章 行列式 证明： 1、存在性 把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 故 是方程组的解

第一章行列式 2、唯一性 设(C1,C2,Cm)是方程组的一个解，则 a,S,=h(i=1,2,L,0 1 Ax849,=bAk(i=1,2,L,n) j=1 nn 左端相加8Awaa,S=88449,=aGaa4:=cD i=1 i=l 1j1 1=1 右端相加 Ab,4k=Dk,从而cD=Dg D 得 所以方程组有唯一解。 D

第一章 行列式 2、唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 得 所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

一章行列式 1.它的优点在于给出了方程组的解与方程组的 系数及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论 价值. 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量 的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章 行列式 1. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的 系数及常数项之间的关系式,因此具有重要的理论 价值. 2.克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量 的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章行列式 例1用克拉默则解方程组 ì2x1+x2-5x3+x4=8, }x1-3x,-6x4=9, 2x2-3+2x4=-5, 1x1+4x2-7K3+6x4=0. 解 2 1-51 07-513 1 -3 0-6 1-2 ，1-3 0-6 D 0 2 -1 2 4-r3 02 -1 2 1 4 -7 6 0 7 .7 12

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组 解

第一章行列式 7-5 13 -3-5 3 C1+2c 2-1 2 、小 0-1 0 C3+2C2 7-7 12 -7-7-2 -3 3 二 ,7 -2 27, 8 1 -51 2 8 -5 1 -3 0 -6 1 9 0 -6 D D .5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 1 0 =81, =-108

第一章 行列式

第一章行列式 2 8 21 -58 1 -3 9 -6 1-3 0 9 D3= 0 2 -5 2 D4= 0 2 -1-5 14 0 6 14-70 =27, x D 81 =3, D2=108=-4, D 27 27 D=-27=-1, X4= D4 21=1. 27 D27

第一章 行列式