《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算_3-3 初等矩阵

线性代数 山东理工大学

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第3章矩阵的运算 3.3初等矩阵 用伴随矩阵求逆矩阵的方法计算量比较大。 这一节寻求利用初等变换求矩阵的逆矩阵

§3.3 初等矩阵 第3章 矩阵的运算 用伴随矩阵求逆矩阵的方法计算量比较大。 这一节寻求利用初等变换求矩阵的逆矩阵

1.初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛， 定义3.3.1：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵. 矩阵的三种初等变换对应着三种初等矩阵。 1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列）加到另一行（列)上去

定义3.3.1：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵. E 矩阵的三种初等变换对应着三种初等矩阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 1.初等矩阵

(1)对调E两行或两列，得初等对换矩阵。 对调E中第i,j两行，即(y分r)得初等对换矩阵： ←第i行 EE(ii) M M ←第j行

, ( ) 对调 E i j r r 中第 两行，即 i j  ，得初等对换矩阵： E i j ( , )  第 i 行  第 j 行 (1) 对调E两行或两列，得初等对换矩阵。 i j r r  E 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1     =   O L M O M L O

(2) 以数k≠0乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。 以数k≠0乘以单位矩阵E的第行（知），得初等 被乘矩阵E((k). EkE(i(k)= ←-第i行

0 ( ) ( ( )). i k E i kr E i k 以数  乘以单位矩阵 的第 行 ，得初等 被乘矩阵 1 1 1 1 k     =   O O 第i 行 (2) 以数 k  0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。 i kr E E i k ( ( ))

3) 以数k≠0乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。 以k乘E的第j行加到第i行上(+kr) [或以k乘E的第i列加到第j列上(c,+kc), ←第行 EE(j(k),i)= 第冽

或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + + 1 1 1 1 k     =   O L O O  第i行 j  第 列 (3) 以数 k  0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。 r kr i j + E E j k i ( ( ), )

三种初等矩阵的性质： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 E(i,j川-E到=-1≠0，且Ei,)'=E(i,)月 E(k)训=kE=k≠0，且E(ik)=E(片 E(jk),)|E到=1≠0，且E(jk),)1=E(j(-),). 所以： 初等矩阵不但可逆，而且其逆矩阵仍为同类项的 初等矩阵

1 E i j E i j ( , ) ( , ); − 且 = 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 三种初等矩阵的性质： E i j ( , ) 1 3 r r  = − E = −  1 0, 1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )); k − E i k k E k ( ( )) = =  0, 且 = 1 E j k i E j k i ( ( ), ) ( ( ), ). − E j k i ( ( ), ) 且 = − i j r kr − = E =  1 0, 所以： 初等矩阵不但可逆，而且其逆矩阵仍为同类项的 初等矩阵

初等矩阵的应用 对A进行初等行变换就相当于以相应的初等矩阵左乘矩阵A: L 12 L 11 012 1n M M M M M M L L ai ai A= M M M M M M =E(i,j)4 an 0j2 L L M M M am2 L . a mn 1 列 O M E(i,j)A= i2 in 列

11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn m m mn a a a a a a A a a a a a a     =   L M M M L M M M L M M M L 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n j j jn i i in m m mn a a a a a a a a a a a a       L M M M L M M M L M M M L r r i j  = E i j A ( , ) ; E i j A ( , ) = 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 0 1 n i i in j j jn m m mn a a a a a a a a a a a a                                 L O M M M L O M M M L O M M M L j列  i列  对A进行初等行变换就相当于以相应的初等矩阵左乘矩阵A： 初等矩阵的应用

411 a12 L n w 412 L M M M M M M A= 1 12 L Ain ×k =E(i(k))A; M M M M M M Am Am2 L m2

11 12 1 1 2 1 2 n i i in m m mn a a a A a a a a a a       =         L M M M L M M M L i r k  11 12 1 1 2 1 2 n i i in m m mn a a a ka ka ka a a a               L M M M L M M M L = E i k A ( ( )) ; E i k A ( ( )) = 11 12 1 1 2 1 2 1 1 n i i in m m mn a a a k a a a a a a                         L O M M M L O M M M L

411 412 L 41 12 M M M M M M L 2+k0) ain ka A- M M M ri+kri M M M = E(j(k),i)A. an an L j2 M M M M M M L 列 12 M M 2 E(j(k),i)A= 同理，对矩阵A进行初等列变换相当于以相应的初等矩阵右乘 矩阵A

11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn n n nn a a a a a a A a a a a a a     =   L M M M L M M M L M M M L 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i j i j in jn j j jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a a a a     + + +   L M M M L M M M L M M M L r kr i j + = E j k i A ( ( ), ) . E j k i A ( ( ), ) = 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 n i i in j j jn n n nn a a a k a a a a a a a a a                                 L O M M M L O M M M L O M M M L 同理，对矩阵A进行初等列变换相当于以相应的初等矩阵右乘 矩阵A。 j列  i列 