《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 n阶行列式_1.4 克拉默法则

线性代数 山东理工大学

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第1章n阶行列式 §1.4克拉默(Gramer)法则

§1.4 克拉默(Gramer)法则 第1章 n阶行列式

引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数 列式D≠0时，方程组有唯一解，飞 (i=1,2,3) 对(1-3)式表示的元线性方程组 411X1+412X2+L+41mXm=b1, 211+a22X2+L+2mXn=b2, (1.5) LLLLLLLLLL anx+an2x2+L +amnxn=bn 其未知量的系数构成的行列式 au an L ain 021 22L D= 02n 称为方程组的系数行列式 LLLLLLL anl

D  0 = (i = 1,2,3) D D x i i 引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数 行列式 时，方程组有唯一解， 对(1-3)式表示的n元线性方程组 其未知量的系数构成的行列式 称为方程组的系数行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = L L LLLLLLL L (1.5) . 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b        + = + = + = LLLLLLLLL L L L L 1 , , + + + + + +

定理1.4.1(Gramer法则)如果线性方程组(1.5)的系数行列式 D≠0，则方程组(1.5)有唯一的解，且 1= 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的阶行列式，即 41La1,j-1 b 41,j+L41n D= LL LLLLI LLLL amLan,j- ansLam 证明：

定理1.4.1（Gramer法则）如果线性方程组(1.5)的系数行列式 D  0, 则方程组(1.5)有唯一的解，且 1 2 3 1 2 3 , , , , . n n D D D D x x x x D D D D = = = = L 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n j n n j n n j nn a a b a a D a a b a a − + − + = L L LLLLLLLLLLL L L 证明：

auL aj- aitL ain x D =xj LLLLLLLLLLL amL anj- anjLam ci+cxi ci+cj-xj-1 LLLLLLLLLLL ci+ci+x amL anj-1 anixi anitiL am : ci+cnxn b auL aj- 41x1+L+41j-xj-1+01x,+01j1xj1+L+a1nxm 工工工工工工工工工工 amL anj- amx+anjx1+anjx+an+L+amxm b

j x D 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j j n j n n j nj n j nn a a a a a x a a a a a − + − + = L L LLLLLLLLLLL L L j 1 1 c c x + 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j j j n n n j nj j n j nn a a a x a a a a a x a a − + − + = L L LLLLLLLLLLL L L 11 1, 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 , 1 j j j j j j j n n j n n n j n nj j nj j nj j nn n n j nn a a a x a x a x a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a − − − + + + − − − + + + + + + + + + + + + + + + L L L L LLLLLLLLLLL L L L L 1 b n b j j j 1 1 c c x + − − j j j 1 1 c c x + + + j n n c c x +

41L4j1b141,L41n =LLLLLLLLLLL =D,j=1,2,L,m) anL ani1 bn anitiL am 含0有吕

= Dj ( 1,2, , ). j n = L 0, j j D D x D   = 当 有 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n n n j n n j nn a a b a a a a b a a − + − + = L L LLLLLLLLLLL L L

例1：用Gramer法则解线性方程组。 2x1 +X2- 5X3 X 8 X 3x2 6x4 = 9 2X2 一 3 2X4 -5 x + 4X2 7x3 。 6X4 = 0 解： (② 1 -5 1 07 -5 13 1 -3 0 -6 1-22 1-3 0 -6 D 0 2 -1 2 '4-2 0 2 -1 2 ① 4 -7 6 07 -7 12

例1： 用Gramer法则解线性方程组。        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 2 2 5 3 6 9 2 5 8 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解： 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

7-5 13 -3 -53 C1+2c2 -3 3 -1 2 0 -1 0 =27 C3+2c2 -7 -2 7 -7 12 -1 -7 -2 8 -5 1 2 8 -5 1 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D1= =81 -5 2 -1 2 D, -5 -1 2 =-108 0 -7 6 1 0 -7 6 2 8 1 2 1 -5 8 -3 9 -6 -3 0 9 =27 2 -5 2 =-27 D4= 0 2 -1 -5 1 4 0 6 1 4 -7 0 81 所以X,= D =3,2=-4,x3=-1, 4=1. D 27

7 5 13 2 1 2 7 7 12 − = − − − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27 3, 27 81 1 1 = = = D D 所以 x 4, x2 = − 1, x3 = − 1. x4 =

当方程组(1.5)的右端常数项b,b2,L,bn不全为零时，称为方 程组(1.5)为非奇次线性方程组。当b,b2,L,bn全为零时，方 程组 411x1+412x2+L+41mXn=0 421X1+a22X2+L+a2mxn=0 (1.11) LLLLLLLLLLLL am+an2x2+L+amxn=0 称为奇次线性方程组。 显然奇次线性方程组一定有解，x,=x,=L=x,=0,即为方程 组(1.11)的解，这个解叫做方程组(1.11)的零解。 推论 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性 方程组只有零解

当方程组(1.5)的右端常数项 不全为零时，称为方 程组(1.5)为非奇次线性方程组。当 全为零时，方 程组 1 2 , , , n b b b L 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = L L LLLLLLLLLLLL L (1.11) 称为奇次线性方程组。 显然奇次线性方程组一定有解， x x x 1 2 = = = = L n 0, 即为方程 组(1.11)的解，这个解叫做方程组(1.11)的零解。 推论 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性 方程组只有零解。 D  0, 1 2 , , , n b b b L

定理1.4.2如果齐次线性方程组(1.11)有非零解，则它的系 数行列式必为零。 例2 问入取何值时， (1-2)x1-2x2+4x3=0 齐次线性方程组 2x,+(3-2)x2+x3=0 有非零解？ x1+x2+(1-2)x3=0 解 1-元-2 4 1-λ-2 41-入 -24 D- 2 3-九 1 2 3-,1+ 2 3-λ 1 1 1 1-λ 1 11 0 0 -入 1-λ -2 4 |-λ-3 -6 4 C1-C3 又 2 3-入 -λ-3 = 1 2-21 -6 C2-C3 2-元 =22+λ 0 0

定理1.4.2 如果齐次线性方程组(1.11)有非零解,则它的系 数行列式必为零。 例2 问 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解？ ( ) ( ) ( )      + + − = + − + = − − + = 1 0 2 3 0 1 2 4 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x     解    − − − − = 1 1 1 2 3 1 1 2 4 D 1 2 4 1 2 4 2 3 1 2 3 1 1 1 1 0 0 −  − −  − = −  + −  −  1 2 4 2 3 1 1 1 1 又 −  − −  1 3 2 3 c c c c − − = 3 6 4 1 2 1 0 0 1 − − − −  3 6 1 2 − − − = −  2 =  + 