《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5二次型及其标准形

§5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结思考题

§5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结 思考题

一、二次型的概念 1.定义5.5.1含有n个变量x1,x2,.,x的二次齐次 多项式 f(x1,x2,.,xn）=anx2+2a12x2+.+2 AnXX +2号++2a2nx2xn 称为二次型。 当a,是复数时，f称为复二次型； 当a,是实数时，f称为实二次型

  1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 , , , , , , 2 2 5 2 .5. . 1 n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x               1. 含有 个变量 的二次齐次 多项式 称 定 为二次型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念

例如+k2+3xx3+2x号+4x2水3+3x xx2+5x+(3+i)xzx;+2xx 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2.设y1,y2,yn到变量x1,x2,x的线性变换 x=cu+c2y2+.+cinyn x2=C21y1+C22y2+.+C2nyn, (5-12) Xn =Cny+cn2y2+.+cmnyn

例如 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x          1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                    2.设由 到变量 的线性变换

或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= ，,Y= Y2 C=(Cij)mxn yn 当C≠0，X=CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换. 注意：线性变换把二次型变为二次型

或写成为矩阵形式: X  CY 1 1 2 2 , ( ) ij m n n n x y x y X Y C c x y                       其中 ， 注意：线性变换把二次型变为二次型. 当 C  0, X  CY称为可逆的线性替换，否则称为 退化的线性替换.特别地 当C为正交矩阵时，称X=CY为正交线性替换

二、二次型的矩阵表示 1.取a=a则2g,x,=gxx,+0nxx(i<j) 于是f=a1子+a12x,x2+.+1nx1xn +a212X1+a2+.+2n2Xn +.+0xnx1+0n2xn2+.+anmx =x1(a11x1+a12x2++a1mxn) +x2(a21x1+222+.+2n火n) +.+Xn(anx1+am2x2+.+amn七n)

二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x                  ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x                  2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 1.取a  a ，则 a x x  a x x  a x x i  j 于是

411X1+12X2+.+41n大n =[x1,x2,.,x 021X1+022X2+.+42nXm amx1+an2X2+.+AnnXn」 2 n =[X1,x2,.,xnJ 21 22 y· Xn

11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x                    11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x                     

11 412 。 记 A= L21 l22 X- 2 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵， 关于二次型矩阵须注意如下几点： (①)二次型矩阵A是对称矩阵 (2)A中主对角元素为中各平方项系数 (3)A中非主对角元素为中各交叉项系数的一半 (4)二次型与对称矩阵是一一对应

11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x                           记 则二次型可记作 f  XAX,其中A称为二次型的矩阵. 关于二次型矩阵须注意如下几点： (4)二次型与对称矩阵是一一对应. (1)二次型矩阵A是对称矩阵 (2)A中主对角元素为 f中各平方项系数 (3)A中非主对角元素为f中各交叉项系数的一半

2.下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原 二次型的矩阵之间的关系 设二次型f=X'AX,作可逆线性变换X=CY f=X'AX=(CY)A(CY) =Y'(C'AC)Y=YBY其中B=CAC B'=(C'AC)=C'A(C)=B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

2.下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原 二次型的矩阵之间的关系. 设二次型f  XAX，作可逆线性变换X  CY f  XAX  (CY )A(CY )  Y(CAC)Y  YBY 其中B  CAC B  (CAC)  CA(C)  B 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

定义5.2.2设A,B是两个阶方阵，如果存在一个 可逆矩阵C,使得B=C'AC,则称A和B是合同的， 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二 次型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的 秩

5.2. , . 2 A B n C B  CAC A B 设 是两个 阶方阵，如果存在一个 可逆矩阵 ，使得 ，则称 和 定 是合同的 义 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二 次型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的 秩

三、二次型的标准形和化法 只含有平方项的二次型f=2y+九2y吃+.+几ny 称为二次型的标准型. 说明： 1.标准二次型的矩阵是对角矩阵 2 2.要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形， 就是要使y'C'ACy=1+2y2+.+九ny 也就是要使C'AC成为对角矩阵

2 2 2 1 1 2 2 . n n 只含有平方项的二次型 f   y   y   y 称为二次型的标准型 三、二次型的标准形和化法 2 2 2 1 1 2 2 2 , . n n . f x Cy y C ACy y y y C AC             要使二次型 经可逆变换 变成标准形 就是要使 也就是要使 成为对角矩阵 1 2 1 ; n .           标准二次型的矩阵是对角矩阵 说明：