《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-6正定二次型

§5.6 正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结思考题

§5.6 正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题

一、正定二次型的概念 1、定义：设f=XAX(A=A)为实二次型，如果对于 任意n维列向量X≠0，都有f=XrAX>0,则称f=X AX为正定二次型，实对称矩阵A为正定矩阵 如果对于任意n维列向量X≠0，都有f=XrAX≥0，则 称f=X”AX为半正定二次型，实对称矩阵A为半正定 矩阵。 例如：∫=x2+x,2++x,2是正定二次型。 f=x2+x2++x,2(r<m)是半正定二次型。 2

一、正定二次型的概念 , . 0, 0, 1 : ( ) , 为正定二次型 实对称矩阵 为正定矩阵 任意 维列向量 都有 则称 、定义 设 为实二次型 如果对于 AX A n X f X AX f X f X AX A A T T T T  =  = = = 矩阵。 称 为半正定二次型 实对称矩阵 为半正定 如果对于任意 维列向量 都有 则 f X AX A n X f X AX T T , 0, 0, =  =  例如： 是正定二次型。 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x ( )是半正定二次型。 2 2 2 2 f = x1 + x ++ xr r  n

2正定二次型的性质： ()实二次型f=x2+x2++,x,2是正定二次 型的充要条件是其系数2>0i=1.n) (2)可逆线性变换保持二次型的正定性不变。 X=CY 即如果有：f=XAX=YTBY=g 则是正定二次型的充要条件是？是正定二次型

2.正定二次型的性质： 0( 1 ). (1) 2 2 2 2 2 1 1 i n f x x x i n n    = = + + +     型的充要条件是其系数 实二次型 是正定二次 (2)可逆线性变换保持二次型的正定性不变。 f X AX Y BY g T X CY T = = = = 即如果有： 则f是正定二次型的充要条件是g是正定二次型

二、正定二次型的判别 定理1：实二次型f=XAX是正定二次型的充要条 件是其标准形中各平方项系数入，全大于零 证：设二次型f=XAX经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=2y+2片++Jy 充分性： 若2>0(i=1,2,.,),对于任意的X≠0，则有 Y=C-1X≠0 故f(X)=f(CY)=y+2y+.+九nJy%>0 即二次型正定

二、正定二次型的判别 2 2 2 C 1 1 2 2 n n f X AX X Y f y y y    =  = = + + + 证:设二次型 经可逆线性变换 化为标准形 充分性 : 1 0( 1,2, , ) 0 0 i i n X Y C X  −  =  =  若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y = = + + +     即二次型f正定. . 1 件是其标准形中各平方项系数 全大于零 定理 ：实二次型 是正定二次型的充要条 i T f X AX  =

必要性（反证法） 假设存在某个，≤0，取Y=e,(单位向量)，当X= Ce,≠0，则有f(X)=f(Ce,)=,≤0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而2>0(i=1,2,.,). 推论1：实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 A的特征值全为正数. 推论2：实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为f=+y子+.+y 推论3：实二次型f=XAX为正定的充分必要条件是 它的正惯性指数为n:

必要性(反证法) 0 ( ) 假设存在某个s s  = = ，取Y e X 单位向量 ，当 0( 1,2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而  = : 2 2 2 1 2 2 n f X AX f y y y =  = + + + 实二次型 为正定的充分必要条件是 它的规范标准形为 推论 推论1：实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 A的特征值全为正数. 0 ( ) ( ) 0. Ce f X f Ce s s s  = =  ，则有  : 实二次型f X AX =  为正定的充分必要条件是 它的正惯性 推论3 指数为n

推论4实二次型f=X'AX为正定，则A>0. 因为A正定，所以二次型f=X'AX正定，经可 逆线性变换X=CY化为标准形f=y+.+Ly 由定理5.6.1知，2>0(i=1,2,.,m),又因 2,0. 0 022 0 C'AC=A= 0 0.n 所以CAC=C1=|=22.元n>0 而C≠0，故A>0

推论4 实二次型f X AX A =   为正定,则| | 0. 2 2 1 1 n n A f X AX X CY f y y   =  = = + + 因为 正定，所以二次型 正定，经可 逆线性变换 化为标准形 5.6.1 0( 1,2, , ) i 由定理 知，  =i n ，又因 2 1 2 0 C AC C A     n 所以| | | || | | |  = = =  而| |C A   0 0. ，故| |1 2 0 0 0 0 0 0 n C AC            = =      

特别注意：推论4的逆命题不成立。 2.设A为阶对称矩阵，由A的前k行前k列元素构成 11 L12 的k阶行列式 L21 L22 (2k ak kk 称为矩阵A=(a)的k阶顺序主子式

特别注意：推论4的逆命题不成立。 1 0 0 1 A   − =     − 2.设A n A k k 为 阶对称矩阵，由 的前 行前 列元素构成 11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k kk a a a a a a k a a a 的 阶行列式 ( ) . A aij 称为矩阵 = 的k阶顺序主子式

定理5.6.2实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的矩阵的所有顺序主子式全大于零. 例1判断下列二次型的正定性 (1)f=3x7+4xK2+4x-4x2x3+5x3 (2)f=-5x+4xx2+4x-6x2-4x3 解：()二次型的矩阵为 「320 A= 2 4-2 0 -2 5

5.6. . 2 f X AX A 实二次型 =  为正定的充分必要条件 是它的矩阵 的所有顺序主子式 定 全大于零 理 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 1 3 4 4 4 5 5 4 4 6 4 f x x x x x x x f x x x x x x x = + + − + = − + + − − 例 判断下列二次型的正定性 (1) (2) 解:(1)二次型的矩阵为 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A     = −       −

以P记它的顺序主子式，则 R-34R-58>R428>0 由定理5.6.2知，正定. -5 22 (2)二次型的矩阵为 A= 2 -6 0 20 -4 它的顺序主子式， ￡=-50,P=A=-80<0 由定理5.6.2知，不是正定的

以Pk记它的顺序主子式，则 1 2 3 3 2 3 0, 8 0, | | 28 0 2 4 P P P A =  =  = =  ＝ 由定理5.6.2知，f正定. (2)二次型的矩阵为 5 2 2 2 6 0 2 0 4 A   −   = −       − 它的顺序主子式， 1 2 3 5 2 5 0, 26 0, | | 80 0 2 6 P P P A − = −  =  = = −  − ＝ 由定理5.6.2知，f不是正定的

三、负定二次型的概念 定义设f=X'AX为实二次型，如果对任意n维非 零列向量X≠0，都有f=XAX<0,则称f=X'AX为 负定二次型，并称实对称矩阵4是负定矩阵 如果对任意非零维列向量X≠0，都有f=X'AX≤ 0,则称f=XAX为半负定二次型，并称实对称矩阵 A是半负定矩阵. 例如f=-x子-x号-x品 为负定二次型 f=-x子-x-x(r<m)为半负定二次型

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) n r f x x x f x x x r n = − − − − = − − − −  例如 为负定二次型 为半负定二次型 , 0, 0, , ; f X AX n X f X AX f X A AX =   =  =   设 为实二次型 如果对任意 维非 零列向量 都有 则 负定二 对称矩阵 定 称 为 次型 并称实 是负定矩阵 义 三、负定二次型的概念 0, 0, , . n X f X AX f X A AX  =   =  半负定二次 如果对任意非零 维列向量 都有 则称 为 并 对称矩阵 是 称实 半负定矩阵 型