《高等数学》课程教学资源（作业习题）第十二章

第十二章无穷级数 班级： 姓名： 序号： 1常数项级数的概念和性质 一、填空、选择题： 1.已知级数，收敛于1，则级数∑4，收敛于 n=l n=2 2级数，的一般项，趋于军，是该级数收敛的 (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分、又非必要条件 3.级数∑山，的部分和数列S,}存在极限，是该级数收敛的_- (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分、又非必要条件 4若级数交，收敛，夏，发散A为正裕数。侧级数“一，) (A)一定收敛 (B)一定发散 (C)收敛性与1有关 (D)无法断定其敛散性 5.设k、g为非零常数，则级数2名收敛的充分条件是.-一 g"-1 (A)g1 (D)l421 6.下列级数收敛是」 (A)】 ua-mB2片)02-r号D)品 7.下列命题正确的是 ()若2收敛，则24，收敛 (⑧)若疗收敛，则多发散 ⊙)若立，发散，则22敏敛①)若2，发戴。含，发散，则2a+)必发散

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 1 1 常数项级数的概念和性质 一、填空、选择题: 1. 已知级数 1 n n u  =  收敛于 1，则级数 2 n n u  =  收敛于 . 2. 级数   n=1 n u 的一般项 n u 趋于零，是该级数收敛的 （ ） （A） 充分条件 （B）必要条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分、又非必要条件 3. 级数   n=1 un 的部分和数列 { } Sn 存在极限，是该级数收敛的 （ ） （A） 充分条件 （B）必要条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分、又非必要条件 4. 若级数   n=1 un 收敛，   n=1 n v 发散，  为正常数，则级数   = − 1 ( ) n n n u v ( ) （A） 一定收敛 （B） 一定发散 （C） 收敛性与  有关 （D） 无法断定其敛散性 5. 设 k、q 为非零常数，则级数   = − 1 1 n n q k 收敛的充分条件是 ( ) （A） q  1 （B） q  1 （C） q  1 （D） q  1 6. 下列级数收敛是 （ ） （A） ( 1 ) 1 n n n  + −  = （B） 1) 1 ln( 1  +  n= n （C） n n n n 5 3 ( 1) 1   = − （D）   =1 2 1 n n 7.下列命题正确的是 （ ） （A）若   n=1 un 2 收敛，则   n=1 un 收敛 （B）若   n=1 un 收敛，则   n=1 un 1 必发散 （C）若   n=1 un 发散，则   n=1 un 1 必收敛 （D）若   n=1 un 发散，   n=1 n v 发散，则   = + 1 ( ) n n n u v 必发散

第十二章无穷纸教 班级： 姓名： 序号： 2常数项级数的审敛法 一、填空题： 1都分和致列么有界是正项数立，收数的 条件 2正项级数∑4，收敛是级数∑山，2收敛的 条件。 3级数立a收敛，是级数空4，收敛的 条件 二、选择题： 下列级数中，为绝对收敛级数的是 A)-少 (B)-) n+1 o豆-n1w8-r 2.下列级数中，为条件收敛级数的是_ (A) 豆-r42-r6o2-ra D)-) 3.交错级数-绝对收敛的充分必要条件是-一 (A)p>0 (B)p≥0 (C)p>1 (D)p≥1 4设常数>0，则级数2-八停” n (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与k有关 5设落数a>0,则级数2sn号- -.( (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与a有关 6设%，20，若mm,=1，则级数- (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)可能收敛，也可能发散 三、用适当方法判定下列正项级数的收敛性： 1三n+W+9 22m年

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 2 2 常数项级数的审敛法 一、填空题： 1.部分和数列 sn  有界是正项级数   n=1 n u 收敛的 条件. 2.正项级数   n=1 n u 收敛是级数   =1 2 n n u 收敛的 条件. 3.级数   n=1 an 收敛，是级数   n=1 n a 收敛的 条件. 二、选择题： 1.下列级数中，为绝对收敛级数的是 （ ） （A）   = − 1 ( 1) n n n （B）   = + − 1 1 ( 1) n n n （C）   = − + − 1 2 1 1 ( 1) n n n n （D）   = − − 1 1 2 1 ( 1) n n n 2.下列级数中，为条件收敛级数的是 （ ） （A）   = − + − 1 1 1 ( 1) n n n n （B）   = − − 1 1 ( 1) n n n （C）   = − − 1 1 1 ( 1) n n n （D）   = − − 1 2 1 1 ( 1) n n n 3.交错级数   = + + − 1 1 1 ( 1) n p n n 绝对收敛的充分必要条件是 （ ） （A） p  0 （B） p  0 （C） p 1 （D） p 1 4.设常数 k  0 ，则级数   = + − 1 2 ( 1) n n n k n （ ） （A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与 k 有关 5.设常数 a  0 ，则级数   =1 2 sin n n a （ ） （A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与 a 有关 6.设 un  0 ，若 lim =1 → n n nu ，则级数   n=1 un （ ） （A） 发散 （B） 绝对收敛 （C） 条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散 三、用适当方法判定下列正项级数的收敛性： 1.   =1 ( +1)( + 4) 1 n n n 2.   =1 4 sin n n 

第十二章无穷纸教 班级： 姓名： 序号： 42nm2品 器 62wj 四、判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 12-r票 22-wn" 32-0

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 3 3.  =  1 2 ! n n n n n 4.  = + 1 1 2 tan n n n  5.  =1 2 n 3 n n 6. n n n n   =       1 3 + 2 四、判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 1.   = − − − 1 1 1 3 ( 1) n n n  2.   = − + − 1 1 1 ( 1) ln n n n n 3.   = − − 1 1 5 sin ( 1) n n n n

第十二章无穷纸教 班级： 姓名： 序号： 3幂级数 一、填空、选择题： 名a+2的收敛区间是 1,幂级数” 2幂级数立-)一二的收敛域是 n+1 3若幂级数∑。.x-在x=-1处收敛，在x=3处发散，则该级数收敛域是 4.若幂级数2a,(任-少在x=3处收敛，则数项级数∑a,的收敛性为一 5.若幂级数∑ax的收敛半径为2，则幂级数∑a,(x+)的收敛区间为_ 6.若幂级数2ar在x=2处收敛，在x=-3处发散，则该级数 (A)x=3处发散(B)x=-2处收敛(C)收敛区间为(-2,2)(D)当>3时发散 7.若幂级数2a,(任-2少在x=-1处收敛，则该级数在x=1处. .( (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不确定 二、求下列幂级数的收敛域： 12- 22号 42 三、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数： 2.x2 2n-1

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 4 3 幂级数 一、填空、选择题： 1.幂级数   n=1 ( +1)2 n n n x 的收敛区间是 . 2.幂级数   = − + − 1 1 1 ( 1) n n n n x 的收敛域是 . 3.若幂级数 n n n a (x 1) 0  −  = 在 x = −1 处收敛，在 x = 3 处发散，则该级数收敛域是 . 4.若幂级数 n n n a (x 1) 0  −  = 在 x = 3 处收敛,则数项级数   n=0 an 的收敛性为 . 5.若幂级数 n n n a x  =0 的收敛半径为 2，则幂级数 n n n na (x 1) 0  +  = 的收敛区间为 . 6.若幂级数 n n n a x  =0 在 x = 2 处收敛，在 x = −3 处发散，则该级数 （ ） （A） x = 3 处发散 （B） x = −2 处收敛 （C）收敛区间为 (−2,2) （D）当 x  3 时发散 7.若幂级数 n n n a (x 2) 0  −  = 在 x = −1 处收敛,则该级数在 x =1 处 （ ） （A）发散 （B）绝对收敛 （C）条件收敛 （D）收敛性不确定 二、求下列幂级数的收敛域： 1.   = − 1 2 ( 1) n n n n x 2.   =  n 1 3 n n n x 3.   = − 1 ( 5) n n n x 4. 2 2 1 2 2 1 −  =  − n n n x n 三、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数： 1.   = − 1 1 n n nx 2.   = − 1 − 2 1 n 2 1 n n x

第十二章无穷级教 班级： 姓名： 序号： 4函数展开成幂级数 一、填空题： 1.函数 ,收敛域是 14 -的麦克劳林级数展开式为 2.函数n1-x)的麦克劳林级数展开式为 收敛域是 3.函数er的麦克劳林级数展开式为 4.函数cos3x的麦克劳林级数展开式为」 二、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： 1.)=3+x 1 2.f0=x-2x-3 1 三、将函数f(x)=1展开成(x-3)的幂级数。 A、将面数)=亡展开成+)的级数。 6

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 5 4 函数展开成幂级数 一、填空题： 1.函数 1+ x 1 的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 . 2.函数 ln(1− x) 的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 . 3.函数 2 x e − 的麦克劳林级数展开式为 . 4.函数 cos3x 的麦克劳林级数展开式为 . 二、将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： 1. x f x + = 3 1 ( ) 2. 2 3 1 ( ) 2 − − = x x f x 三、将函数 x f x 1 ( ) = 展开成 (x −3) 的幂级数。 四、将函数 x f x − = 1 1 ( ) 展开成 (x +1) 的幂级数