《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章_D10_3三重积分

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第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为u(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 H(5k 7R-5k)AVE △V k= (5k,n4,54） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , ) k k k    k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.设f(x,y,z),(x,y,)2,若对2作任意分割 △y%(k=1,2,.,n)任意取点(5,7k,5k)∈△vk,下列 积和式”极限 “乘 lim】 2-→0 形4：%5a∬/x.a)a k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分 几点说明： (1)三重积分中各符号的含义及名称与二重积分相似 (2)dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. ∬fx,y,a)dv=∬fx,y,dxdydz HIGH ESUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)   f (x, y,z)dv 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 下列 积和式” 极限 “乘 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几点说明： （1）三重积分中各符号的含义及名称与二重积分相似 （2） dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz. f x y z v f x y z x y z ( , , )d ( , , )d d d   =  

(3)当f(x,z)在2上连续时，三重积分一定存在 (4)性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 ∬f(x,y,)dv=5n.s)V Q (5)物理意义：若f(x,y,z)是①上的体密度函数，则 M=Jjx,y, HIGH EDUCATION PRESS

（4）性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 ( ,, ), 使得   f (x, y,z) d v = f ( ,, )V V 为 的 体积, （5）物理意义：若 f ( x , y, z ) 是  上的体密度函数，则 M f x y z dv ( , , )  =  （3）当 f ( x , y, z ) 在  上连续时，三重积分一定存在

二、三重积分的计算 (方法：三次积分法) 1.利用直角坐标计算三重积分 方法1.投影法 方法2.截面法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 方法2 . 截面法 （方法: 三次积分法 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法1.投影法 2是上下结构 2=22(x,y) 假设平行于z轴且穿过闭区域Q 内部的直线与闭区域Ω的边界曲 面S相交不多于两点. 把闭区域Ω投影到xOy面上， 得一平面区域D, 积分区域可表示成 2=《x,y,zx,y)eD(xy)s:≤2(x,y)》 dv-ffaxdrd HIGH EDUCATION PRESS

面 相交不多于两点． 内部的直线与闭区域 的边界曲 假设平行于 轴且穿过闭区域 S z   方法1 . 投影法 x y z o Dxy2 S 1 S 1 z z x y = ( , ) 2 z z x y = ( , ) 把闭区域投影到xOy面 上, 得一平面区域Dxy 积分区域可表示成  = (x, y,z)(x, y) Dxy ,z1 (x, y)  z  z2 (x, y)   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y z x y D x y f x y z z x y  是上下结构

方法1.投影法 2=《x,y,x,y)∈Dw,(x,y)≤2≤(x,y)} a飞3a=dd: 先一后二 (1)若D为X型区域Dn={(x,川a≤x≤b,x)y≤h(x》 即2=《xy,za≤x≤b,()sy≤(x),x,八≤x,y)} fxxh=efx :三次积分 (2)若D,为Y型区域D,={(xy川c≤y≤d,x(y)≤x≤x2(y)} 即Q={《x,yzc≤y≤d,x(y)x≤x(y),(x,y):≤2()} ∬fx,x= 三次积分

{ ( , ) | , D x y a x b xy =   f x y z dv ( , , )  =  2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz    三次积分 1 2 （1）若D y x y y x ( ) ( )}   xy 为X型区域： { ( , ) | , D x y c y d xy =   f x y z dv ( , , )  =  2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) d x y z x y c x y z x y dy dx f x y z dz    1 2 （2）若Dxy 为Y型区域： x y x x y ( ) ( )}   即 =（ x, y,z）a  x  b, y1 (x)  y  y2 (x) ,z1 (x, y)  z  z2 (x, y) 即 =（ x, y,z）c  y  d, x1 ( y)  x  x2 ( y) ,z1 (x, y)  z  z2 (x, y)  = (x, y, z) (x, y)  Dx y , z1 (x, y)  z  z2 (x, y)   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y z x y D x y f x y z z x y 先一后二 三次积分 方法1 . 投影法

>若Ω是前后结构 若用平行于x轴的直线穿过2，与其边界曲面的 交点至多有两个 将2投影到yoz面上。 (didads =化成三次积分 >Ω为左右结构-情形类似 HIGH EDUCATION PRESS

➢ 若  是前后结构 f x y z dv ( , , )   2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) yz x y z x y z D = d f x y z dx    = 化成三次积分 ➢  为左右结构-情形类似 若用平行于x 轴的直线穿过,与其边界曲面的 交点至多有两个， 将  投影到 yoz 面上

例1.计算三重积分 川。xdxdyd:,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+2=1所围成的闭区域 0≤x≤1 解：2：0≤y≤(1-x) 0≤z≤1-x-2y f川xdxdyd: dxdydz -Jxdx-x-2y)dy =6x-2x2+x3ax=0 48 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   x d x d y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2.截面法（先二后一） 2={(x,y,川G≤z≤c2,(x,y)eD} ∬a-kd HIGH EDUCATION PRESS

z 1 2 {( , , ) | , ( , ) }z  =    x y z c z c x y D f x y z dv ( , , )   2 1 ( , , ) z c c D = d z f x y z dxdy   方法2. 截面法 ( 先二后一 )