《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_5对坐标曲面积分

第五节 第十一章 对望标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、 对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十一章

有向曲面及曲面元素的投影 1有向曲面及其侧 双侧曲面 曲面分内侧和 曲面分类 外侧 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型 右侧 下侧 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.有向曲面及其侧

(1)若曲面方程为：=z(x,y,则将曲面分为 上、下两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(3xy,一1) 其中，元=(-x,一乙，1)朝上，代表曲面的上侧 2=(3xzy,-1) 朝下，代表曲面的下侧 2=(x2+y2) HIGH EDUCATION PRESS

（1）若曲面方程为 z = z (x , y)，则将曲面分为 上、下两侧。  ( , ,−1) x y 此时曲面上任意一点处的法向量为 z z 其中， ( , , 1) 1 x y n = − z − z  朝上，代表曲面的上侧， ( , , 1) n2 = zx z y −  朝下，代表曲面的下侧。 o y x z

(2)若曲面方程为y=y(x,),则将曲面分为左、右 两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(yx,一1，y2) 其中，m=(yx,1,-y)朝右，代表曲面的右侧 i2=(yx一1，y2)朝左，代表曲面的左侧。 y=(22+x2) HIGH EDUCATION PRESS

（2）若曲面方程为 y = y (x , z)，则将曲面分为左、右 两侧。 ( , 1, ) x z 此时曲面上任意一点处的法向量为  y − y 其中， ( , 1, ) 1 x z n = − y − y  朝右，代表曲面的右侧， ( , 1, ) 2 x z n = y − y  朝左，代表曲面的左侧。 o y x z

(3)若曲面方程为x=xy,),则将曲面分为前、后 两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为±(-1，xy,x,） 其中，m1=(1,一xy,一xz)朝前，代表曲面的前侧， 2=(-1,xy,x)朝后，代表曲面的后侧。 (4)若曲面为封闭曲面，方程为F(x,y,2)=0， 则将曲面分为内、外两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(Fx,卫y,F,) 其中，一个朝内，代表曲面的内侧 一个朝外，代表曲面的外侧。 HIGH EDUCATION PRESS

（3）若曲面方程为 x = x (y , z)，则将曲面分为前、后 两侧。 ( 1, , ) y z 此时曲面上任意一点处的法向量为  − x x 其中， (1, , ) 1 y z n = − x − x  朝前，代表曲面的前侧， ( 1, , ) 2 y z n = − x x  朝后，代表曲面的后侧。 （4）若曲面为封闭曲面，方程为 F (x , y , z ) = 0， 则将曲面分为内、外两侧。 ( , , ) 此时曲面上任意一点处的法向量为  Fx Fy Fz 其中， 一个朝内，代表曲面的内侧， 一个朝外，代表曲面的外侧

小结： (1)曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分： (2)曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。 这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面 HIGH EDUCATION PRESS

小结： （1）曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分； （2）曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。 这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面

例收如：考虑封闭的球面∑：x2+y2+z2=a2, 则应将∑分为内、外两侧，取 F=x2+y2+z2-a2, 则(Fx,F,F2)=2(x,y,z)代表∑的外侧， 而-(Fx,E,)=-2(x,y,)代表的内侧。 HIGH EDUCATION PRESS

, 2 2 2 2 例如：考虑封闭的球面 ： x + y + z = a 则应将  分为内、外两侧， 取 , 2 2 2 2 F = x + y + z − a 则 ( , , ) Fx Fy Fz = 2( x, y,z) 代表  的外侧， ( , , ) − Fx Fy Fz 而 = −2( x, y,z) 代表  的内侧。 x 0 y z

例如：考虑封闭的球面Σ：x2+y2+z2=a2, 则应将Σ分为内、外两侧， 1:z=Va2-x2+y2 代表上半球面， 22:z=-a2-x2+y2 代表下半球面， 21 此时，Σ，和Σ2均应分为上、下两侧 若Σ取外侧，则 Σ，应取上侧，Σ2应取下侧 若Σ取内侧，则 ∑，应取下侧，Σ，应取上侧， HIGH EDUCATION PRESS

, 2 2 2 2 例如：考虑封闭的球面 ： x + y + z = a x 0 y z 1 则应将  分为内、外两侧， 2 2 2 1  : z = a − x + y 代表上半球面， 2 2 2 2  : z = − a − x + y 代表下半球面， 2 此时， 1和2 均应分为上、下两侧 若  取外侧，则 1 应取上侧， 2 应取下侧， 若  取内侧，则 1 应取下侧， 2 应取上侧

2.有向曲面在坐标面上的投影 设Σ是一个有向曲面，的方向余弦记为 no (cosa,cos B,cosy) 则△S在xoy面上的投影规定为 (△o)x 当c0sy>0时 当cosy<0时 当cosy=0时 类似可规定（△S)z,(AS)x HIGH EDUCATION PRESS

2. 有向曲面在坐标面上的投影      (S)xy = x y z 0  S x y ( ) • n n   的方向余弦记为 (cos ,cos , cos ) 0 n =     设  是一个有向曲面， 则S 在xoy 面上的投影规定为 ( )x y 当cos  0时 − ( )x y 当cos  0时 0 当cos   0时 类似可规定 yz zx (S) , (S)

3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系 (1)设的方程为：乙=(x,y) 若Σ取上侧 cosy >0 (AS)xy= -(△) ，若Σ取下侧 (2)若的方程为：y=y(x,z) △)xz, 若Σ取右侧 (AS)z= 公o,若x取左侧 cos B (3)若∑的方程为：x=x(y,2) △o)z,若Σ取前侧 cos a HIGH EDUCATION PRESS

（1）设的方程为： z = z( x, y)    (S)x y = ( )x y , 若 取上侧 − ( )x y , 若 取下侧 cos  0 （2）若的方程为： y y x z = ( , )    (S)xz = ( )x z, 若 取右侧 − ( )x y , 若 取左侧 （3）若的方程为： x x y z = ( , )    (S) yz = ( ) yz, 若 取前侧 − ( ) yz, 若 取后侧 cos cos  3. 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系