《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9习题课

习数保 第九章 多无品款散分法 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结球

习题课 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法

基本要求： 1.多元函数的定义域。 2.简单的二元函数的极限 3.一阶偏导数和高阶偏导数的求法 全微分 4. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法， 会求多元隐函数（组）的偏导数。 *5.方向导数与梯度的计算 6.空间曲线的切线和法平面、 曲面的切平面和法线方程的求法。 7.会求二元函数的极值，求简单函数的最值 会用拉格朗日乘数法求条件极值， 并会解关于最值问题的应用问题。 HIGH EDUCATION PRESS

1. 多元函数的定义域。 2. 简单的二元函数的极限 3. 一阶偏导数和高阶偏导数的求法 全微分 4. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法， 会求多元隐函数（组）的偏导数。 *5. 方向导数与梯度的计算 6. 空间曲线的切线和法平面、 曲面的切平面和法线方程的求法。 7. 会求二元函数的极值，求简单函数的最值 ． 会用拉格朗日乘数法求条件极值 , 并会解关于最值问题的应用问题。 基本要求：

基本概念计算 1.多元函数的定义、极限、连续 ·定义域 ·判断极限不存在及求极限的方法， 适当放缩、变量替换转化为一元函数的极限 ·函数的连续性及其性质 2.几个基本概念的关系 连续 偏导数存在 方向导数存在 可微 偏导数连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 结

一、 基本概念 计算 连续 偏导数存在 方向导数存在 可微 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域 • 判断极限不存在及求极限的方法， 适当放缩、变量替换转化为一元函数的极限 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数连续

3.偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时，只要把其它自变 量看作常数，然后按一元函数求导法求导即可· 求一点处偏导数的方法： f(oo)口f(x,y oo)□f,x, V全微分 ddx ay HIGH EDUCATION PRESS

3. 偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时,￾只要把其它自变 量看作常数,￾然后按一元函数求导法求导即可.￾ 求一点处偏导数的方法： v全微分

☑高阶偏导数 -逐次求导法 7,2 回f(c,y) HIGH EDUCATION PRESS

Ø 高阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 -逐次求导法

4.多元复合函数求导的链式法则 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 例3.设z□uv口sint,u☐e',v□cost,求全导数 dz dt 解： dt "u dt dt ☐ve☐sint☐cost ☐e'(cost☐sint)☐cost 注意：多元抽象复合函数求导 问题的求导技巧与常用导数符号！ HIGH EDUCATION PRESS 回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 多元复合函数求导的链式法则 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导 问题的求导技巧与常用导数符号

☑多元抽象复合函数求导 例4.设w口f(x口y口z,xyz),f具有二阶连续偏导数， 求 w,9f2 解：令u山Uy Uz,v山xyz,则 w☐f(u,v) 口f四口2z口f0y2f x 知oy口yy及列 0xCz 口fP口(x0z)f2□xyzf22Dyf2 HIGH EDUCATION PRESS

例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 Ø 多元抽象复合函数求导

5.隐函数求导 ☑一个方程确定的隐函数 F(x,y)=0→ dx F(x,y2)=0→ ☑两个方程确定的隐函数组 ☐F(x,y,u,y)☐0 u☐u(x,y) G(x,y,u,y)☐0 y☐v(x,y) 方程两边求偏导 HIGH EDUCATION PRESS

F(x,y)=0 F(x,y, z)=0 Ø一个方程确定的隐函数 Ø两个方程确定的隐函数组 方程两边求偏导. 5. 隐函数求导

二、多元函数微分法的应用 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面（关键：抓住切向量） 求曲面的切平面及法线（关键：抓住法向量） 2.极值与最值问题 ·极值的必要条件与充分条件 ·求条件极值的方法（代入消元法，拉格朗日乘数法） ·求解最值问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

二、多元函数微分法的应用 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (代入消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.求旋转抛物面z口x2口y2与平面x口y口2z口2 之间的最短距离 解：设P(x,y,z)为抛物面z口x2口y2上任一点，则T 到平面x口y口2z口2口0的距离为 d C x☐y口2z口2 问题归结为 目标函数：(x□y☐2z□2)2(min） 约束条件：x20y2☐z☐0 作拉氏函数 F(x,y,z)□（口y■2z□2）2IC(z☐x2□y2) HIGH EDUCATION PRESS

例. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解：设 为抛物面 上任一点，则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面