《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.3 空间直线1

第三节 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 三、平面束 HIGH EDUCATION PRESS 、返回结束

第三节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 三、平面束

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 Ax+By+Cz+D=0 42x+B2y+C2z+D2=0 (不唯一) HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回

一、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程 已知直线上一点Mo(xo,yo,2o)和它的方向向量 s=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则 M。M∥s M(x,y,z) 故有 x-0=y-y0=2-20 17m n p M(x0,yo,20） 此式称为直线的对称式方程也称为点向式方程 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p10时，直线方程为 x=X0 1y=y0 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.参数式方程 设 x-x0=y-y0=2-20=i m n p 得参数式方程 x=xo +mt y=yo+nt 2=z0十p1 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下页 返回结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线 }x+y+z+1=0 12x-y+3z+4=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.用对称式及参数式表示直线 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L1,L2的方向向量分别为 S=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2） 则两直线夹角口满足 cosj 32 mm2+12+PP2 m2+2+pm,2+n2+p乃 HIGH EDUCATION PRESS 动 返回结束

二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 ￾ 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有： ()L1^L2—3入52→512=0 > 1m2+nn2+p1p2=0 (2)Z1L2=12$2=d 1=1=P1 m2 n2 P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上

特别有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求以下两直线的夹角 z+3 y+2 1 L2' 2 -2 HIGH EDUCATION PRESS 知动目录 下贡 返回结束

例2. 求以下两直线的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角口称为直线与平面间的夹角； 当直线与平面垂直时，规定其夹角？2： 设直线L的方向向量为s=(m,n,p) 平面口的法向量为n=(A,B,C) 则直线与平面夹角口满足 sinj =cos() s×n Am+Bn+C p Vm2+n2+p27A2+B2+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角￾ 称为直线与平面间的夹角; ￾ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 ￾ 的法向量为 则直线与平面夹角 ￾ 满足 直线和它在平面上的投影直 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有： (1)LP 4=B=C m n p (2)L/P→sn→Am+Bn+Cp=0 例3.求过点(1，一2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂 直的直线方程. 解：取已知平面的法向量=(2，-3,1) 为所求直线的方向向量。 则直线的对称式方程为 x-1_y+2-z4 2 -3 HIGH EDUCATION PRESS 返回

特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂 机动 目录 上页 下页 返回 结束