《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.1多元函数基本概念

第之丰 多花晶款微分学 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第六章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学

第一节 多元品款的梳念、戴限与莲疾 一、平面上的集合 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS

第一节 一、平面上的集合 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念、极限与连续

一、平面上的集合 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合口 称为平面点集口 记作 E▣{x口y川(x口y)具有性质P}口 例：集合R口R☐R口{(x口yx口y口R}表示坐标平面口 HIGH EDUCATION PRESS

例： 集合R2￾ R￾ R￾ {(x￾ y)|x￾ y￾ R}表示坐标平面￾ 一、平面上的集合 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合￾ 称为平面点集￾ 记作 E￾ {(x￾ y)| (x￾ y)具有性质P}￾

一、平面点集区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质的点的集合口称为平面 点集口记作 E口{x▣y川x口y)具有性质P)口 例如口平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点 的集合是 C口{(x口y)x2口y2<2}☐或C▣{P11OP口r}可 其中P表示坐标为(x口y)的点口OP表示点P到原点O的 距离口 HIGH EDUCATION PRESS

一、平面点集 区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合￾ 称为平面 点集￾ 记作 E￾ {(x￾ y)| (x￾ y)具有性质P}￾ 例如￾ 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点 的集合是 C￾ {(x￾ y)| x 2￾ y 2<r 2}￾ 或C￾ {P| |OP|￾ r}￾ 其中P表示坐标为(x￾ y)的点￾ |OP|表示点P到原点O的 距离￾

2.邻域 点集U(P,δ)={PPPo<δ}，称为点P的口邻域. 例如，在平面上， U(,δ)={《xy)V(x-xo}2+(Gy-yo)2<δ（圆邻域》 在空间中 U(,d=《x,y,zNx-xo2+y-yo)2+(z-o)2<δ} (球邻域)》 说明：若不需要强调邻域半径口，也可写成(P) 点P,的去心邻域记为U(o)={P|0<P乃<δ HIGH EDUCATION PRESS 结

2. 邻域 点集 称为点 P0 的￾ 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径￾ ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 平面上的方邻域为 U(,δ)={(x,y)x-xo≤δ，y-yo<δ} HIGH EDUCATION PRESS 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.☒域 (1)内点、外点、边界点 设有点集D及一点P: 口若存在点P的某邻域U(P)▣ 。则称P为D的内点： 口若存在点P的某邻域UU(P)nD=口 ,则称P为D的外点， 口若对点P的任一邻域U(P)既含D中的内点也含 D的外点，则称P为D的边界点 D的边界点的全体称为D的边界，记为D 显然，D的内点必属于D,D的外点必不属于D,D的 边界点可能属于D,也可能不属于D HIGH EDUCATION PRESS

3. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 D 及一点 P : ￾ 若存在点 P 的某邻域 U(P)￾ D , ￾ 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ D = ￾ , ￾ 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 D中的内点也含 D 则称 P 为D 的内点； 则称 P 为 D 的外点 ; 则称 P 为 D 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, D的内点必属于D, D的外点必不属于 D , D 的 边界点可能属于 D, 也可能不属于 D . D的边界点的全体称为D的边界，记为

例如口设平面点集 D0{(x0y11▣x20y2▣2}口 考察其内点，边界点 HIGH EDUCATION PRESS

例如￾ 设平面点集 D￾ {(x￾ y)|1￾ x 2￾ y 2￾ 2}￾ 考察其内点，边界点

(2)开区域及闭区域 口若D是平面上的点集，D中的点如果满足以下条件 (1)点集D的点都是内点： ▣(2)若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线 相连； 则D称为开区域，简称区域。 口开区域连同边界，简称闭区域。 HIGH EDUCATION PRESS 目录 下项 返回 结球

D （2）开区域及闭区域 ￾ (1)点集 D 的点都是内点； ￾ (2)若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线 相连 ; ￾ 则D称为开区域，简称区域。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 ￾ 若D是平面上的点集，D中的点如果满足以下条件 ￾ 开区域连同边界，简称闭区域

例如，在平面上 {(x,)x+y>0) 开区域 D{(x,y)1<x2+y2<4} 口{x,y)x+y30} 闭区域 {x,y)1Ex2+y2E4} 2x HIGH EDUCATION PRESS 结球

例如，在平面上 开区域 闭区域 ￾ ￾ ￾ ￾ 机动 目录 上页 下页 返回 结束