《高等数学》课程教学资源（各章复习要点）9-多元函数微分法及其应用复习

1、多元函数的概念： (1)定义域 (2)极限 多元函数的极限运算，与一元函数的类似

1、多元函数的概念: (1)定义域 多元函数的极限运算,与一元函数的类似

1.函数f(x,)=V1-x2-y2+ln(x2+y2)的定义域是 2.lim sin(xy)_ (x,y)→(0,3) x

2、偏导数与全微分 (1偏导数 f (x,y)=lim f(x+△x,y)-fx,y) △x→0 △x =df(x,y) d dx (2)全微分 :=f(x,y)可全微分→= dxoy 64 dy Ox f(x,y)dx+f(x,y)dy

2、偏导数与全微分 (1)偏导数 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y   x      ( , ) x f x y (2)全微分 z = f ( x, y )可全微分

1.设z=arctan(y),则dz=

3、多元复合函数求导 一链式法则 1.设函数z=f,台，f具有二阶连续偏导数，求，0 ax 8yox

3、多元复合函数求导——链式法则

4、隐函数求导 1. 已知函数z=2x,)是由方程x2+y2+-2x+2y-4z-5=0确定，求产 &x'&x2

4、隐函数求导

5、几何学上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面 T:x=p(),y=y(),z=o(),t∈[a,] 点M(xo,o,2o)对应t=0 切线方程 x-X0=y-y0三三-0 (to)w(to) @'(to) X三X →T:y=p(x)→7=(1,0，w） z=W(x） r{ (x,y,2)=0 (x,y,2)=0

5、几何学上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面 0 0 0 0 点 M x y z t t ( , , ) , 对应  0 0 0 x x y y z  z     ( ) 0  t ( ) 0  t ( ) 0  t 切线方程 ( ) : ( ) y x z x         : ( ) ( ) x x y x z x               T (1, , )         ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 

5、几何学上的应用 (2)曲面的切平面与法线 光滑曲面Σ：F(x,y,z)=0 曲面∑在点M(xo,y%,2o)的法向量： n=(F(x0,%,20),F,(x0%,20),F(0,0,20》 切平面方程 Fx(x0,0,20)(x-xo)+Fy(x0,0,20)y-y0) +F.(x0,y0,202-20)=0 光滑曲面Σ：z=f(x,y)→F(x,z)=f(x,)-2 或F(x,y,z)=z-f(x,y)

5、几何学上的应用 (2) 曲面的切平面与法线 光滑曲面 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z  x y z 曲面  在点 的法向量: 0 0 0 M x y z ( , , ) ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z x x x  ( , , )( ) 0 0 0 0 F x y z y y  y   Fz (x0 , y0 ,z0 )(z  z0 )  0 切平面方程 光滑曲面    F x y z f x y z ( , , ) ( , ) 或F x y z z f x y ( , , ) ( , )  

1.求曲线 在点1,1,1)处的切线方程 2=x3

2.求曲面y+e-z-3=0上点(2,1,0)处的切平面和法线方程