《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-2 对坐标的曲线积分

第二节 第十一章 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1,引例：变力沿曲线所作的功， 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=P(x,y)i+(x,y)j 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W 解决办法 恒力沿直线所作的功 “大化小” W=FAB cos0 “常代变” B =F.AB “近似和” “取极限

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 W  F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 恒力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A  F  AB B F  F x y P x y i Q x y j ( , ) ( , ) ( , )   A B L x y

1)“大化小” 把Z分成n个小弧段，F沿MM,yT F(5,n 所做的功为△W,则 2)“常代变” 有向小弧段MM,用有向线段M-M,=△x,i+△y, 近似代替，其中△x,=x,-x-1,△y=y一y-1,在MM 上任取一点(5,7)，则有 4W,≈F(5,7,)·M,-1M =P(5,7,)Ax+Q(5,7)△y

Mi1 Mi A B x y 1) “大化小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 ( , ) ( , ) P x Q y i i i i i i       Δ Δ 所做的功为 F 沿 1 ( , )    W F M M i i i i i    ( , ) F i i   1 n i i W W     则 用有向线段 上任取一点 在 i y i x 其中

3)近似和” W≈∑[P5,n)Ax+O,n,)△y] 4)“取极限” W=l∑[P(5,)A+O,n)△yJ i=1 (其中入为n个小弧段的 F(5,n 最大长度)

3) “近似和” 4) “取极限” 1 n i W     P x Q ( , ) ( , )    i i i i i i    ξ y  0 1 lim n i W     P( , ) ( , ) ξi i i i i i η Δx Q ξ η Δ y  (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) Mk1 Mk A B x y L ( , ) F i i   i y i x

2.定义.设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.沿着L上的 方向依次插入一点列M(x,),M2(x2,y2. M(xn-1yn-),把L分成n个有向小弧段 M-M,(i=1,2,.,nM=A,Mn=B) 设△x,=X,-x-1,△y=y-1,点(5,7，)为M-M,上 任意取定的点.作乘积P(5,☑，)△x,(i=1,2.,n),并作 和∑P(5,7,)△x,如果当各小弧段长度的最大值 入→O时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分

2. 定义. 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 , ( , ), ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( 1,2, , ; , ). , , ( , ) . ( , n n n i i n i i i i i i i i i i i L xOy A B P x y Q x y L L M x y M x y M x y L n M M i n M A M B x x x y y y M M P                     设 为 面内从点 到点 的一条有向光滑 曲线弧 函数 在 上有界 沿着 上的 方向依次插入一点列 把 分成 个有向小弧段 设 点 为 上 任意取定的点 作乘积 ) ( 1,2 , ), i i   x i n 并作 1 ( , ) 0 , , ( , ) n i i i i x P x P x y L       和 ，如果当各小弧段长度的最大值 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分

(或称第二类曲线积分)，记作 Pxd=∑P八5m)A 类似地，如果作和∑Q(5,7,)△y,如果当各小弧段长度 的最大值入→O时，这和的极限总存在，则称此极限为 函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分 (或称第三类曲线积分)，记作 ,(.)dym()Av 其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段 或积分曲线

( , 或称第二类曲线积分） 记作 0 1 ( , )d lim ( , ) . n i i i L i P x y x P x          1 ( , ) 0 , , ( , ) ( , n i i i i Q y Q x y L y       类似地,如果作和 ,如果当各小弧段长度 的最大值 时 这和的极限总 对坐标 的曲线积分 存在 则称此极限为 函数 在有 第二类曲线积 向曲线弧 上 或称 分） 记作 0 1 ( , )d lim ( , ) . n i i i L i Q x y y Q y          其中 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线

3.存在条件：当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时第二类曲线积分存在 4.组合形式：∫P(x,)d+∫Q(x,d =[P(x.)dx+O(x.y)dy =∫F(x,-d 其中F(xy)=P(x,y)i+O(x,y)j,d正=dxi+dy 表示变力F(x,y沿着有向曲线弧L所作的功

3.存在条件： 当P x y Q x y L ( , ), ( , )在光滑曲线弧 4.组合形式: ( , )d ( , )d L L P x y x Q x y y    ( , ) d . L   F x y r  其中 F x y P x y i Q x y j r xi yj ( , ) ( , ) ( , ) , d d d .     ( , )d ( , )d L   P x y x Q x y y  表示变力 F x y L ( , ) . 沿着有向曲线弧 所作的功 上连续时, . 第二类曲线积分存在

5推广：空间有向曲线弧 ∫Px,y2d=1im∑P(5n,S,)△x 2>0 i=] J0x,y=l∑05n5)Ag i= ∫R(x,y,z)d=lim∑R(5,n,5)△ →0

5.推广: 空间有向曲线弧 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i P x y z x P x            0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i Q x y z y Q y            0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i R x y z z R z           

6.性质 (1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,(i=1,.,k) 则J,P(x,ydx+Qx,ydy 2a+ (2)用L-表示L的反向弧，则 JP(x,y)dx+()dy=-,P(x.)dx+(x.y)dy 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向]

6. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧   L P(x, y)dx Q(x, y)dy     k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则     L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L 的参数方程为 x=p(t). 当参数t单调地由a变到时， y=W(t) 点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,p(t),w(t)在以 aα及B为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且p(t) +y2(t)≠0，则曲线积分，P(x,y)dk+Q(x,y)d存在 且，P(x,y)dx+Ox,y)d =P[(.((().(()dr

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 2 2 ( , ), ( , ) , ( ), , ( ), ( , ) , ( ), ( ) , ( ) ( ) 0, ( , ) ( , )d , L P x y Q x y L L x t t y t M x y L A L B t t t t P x y dx Q x y y                      设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 当参数 单调地由 变到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数 且 则曲线积分 存在 ( , )d ( , )d L P x y x Q x y y  且 { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d P t t t Q t t t t             