《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-4 对面积的曲面积分

第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法

第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度4(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5,7,5》 “大化小，常代变，近似和，求极限” 的方法，可得 M= lim 4(5,7,5;)△S 2→0 i 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）

O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 1 n i M   ( , , ) i i i    求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,  量 M. 其中,  表示 n 小块曲面的直径的 最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)

定义设曲面Σ是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有 界.把∑任意分成n个小块△S,(△S同时也代表第 i小块曲面的面积)，设(5,7,5)是△S,上任意取定 的一点，作乘积f(5,n,5)△S,(i=1,2,.,n,并作 和∑f(5,n,5)△S,如果当各小块曲面的直径 最大值入→O时，这和的极限存在，则称此极限 为函数f(x,y,z)在曲面∑上对弧长的曲面积分 或第一类曲面积分，记作∬f(x,为，)dS,即 rxy2s=∑7(57,5)As i=1

定义 1 ( , , ) . ( ), ( , , ) , ( , , ) ( 1,2, , ), ( , , ) , 0 , , ( , , ) i i i i i i i i i i n i i i i i f x y z n S S i S f S i n f S f x y z                         设曲面 是光滑的 函数 在 上有 界 把 任意分成 个小块 同时也代表第 小块曲面的面积 设 是 上任意取定 的一点 作乘积 并作 和 如果当各小块曲面的直径 最大值 时 这和的极限存在 则称此极限 为函数 在曲面 对弧长的曲面积分 第一类 上 或 曲面积分, ( , , )d , f x y z S  记作 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i f x y z S f S           

被积函数 x=2飞55as 积分曲面 积分和式 据此定义，曲面形构件的质量为M=厂(x,y)dS 曲面面积为S=川dS

0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i f x y z S f S            积分曲面 被积函数 积分和式 M x y z S ( , , )d   据此定义  , 曲面形构件的质量为 曲面面积为

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 ·积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若Σ是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面∑，∑2，则有 ∬f(xy)ds=∬fxy)ds+∬fx2)ds ·线性性质.设k1,k2为常数，则 [kf(x.y.)=士kgx,y小as =k∬fx,y,a)ds±k∬g(x.y.z)dS

则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 1 2  , , 则有 f x y z S ( , , )d    1 f x y z S ( , , )d   k f x y z k g x y z S 1 2 ( , , ) ( , , ) d    • 线性性质. 1 2 k f x y z S k g x y z S ( , , )d ( , , )d       在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面

二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 ∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dy f(x,y)在∑上连续，则曲面积分 ∬fx,)ds存在，且有 ∬fx,z)ds (△, (575) f(x.y.z(x.))1+z.)+z2(x.y)dxdy 证明：由定义知 f(x.y,z)ds=lim 1→0 ∑f(5,n,5)△S i=

O x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在  上连续, f x y z S ( , , )d 存在, 且有   ( , , ) Dx y  f x y  二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 1 n i  lim 0  Dxy( , , ) i i i ( )  i xy    

而△s=J∬V1+:,)t,(x,)ddy =V1+-2(5,)+y2(5,)△o)y ∬f(x,y,a)ds =之八5：2》 V1+22(5品7)+2(5n)(△o,) =m飞5.6n》 (∑光滑 √1+22(57，)+3,2(5,7，)（△o,)x, -f(x.y.z(x.y))/1+=(.)+=,"(.)dxdy

2 2 ( ) 1 ( , ) ( , ) d d i x y x y z x y z x y x y     x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2         2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x i i y i i i x y    z z          2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) x i i y i i i x y    z z      2 2 ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d x y x y D    f x y z x y z x y x y  ( , , ( , )) i i i i f z      ( , , ( , )) i i i i f z      f x y z S ( , , )d   而 (  光滑 )

说明：∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dx ∬fx,2)ds = [f(x.y.z(x.y))1+z(x.y)+z,2(x.y)dxdy D )对面积的曲面积分的计算归结为计算一个二重积分！ 工→Dgy 2)化为二重积分中的三个变化xy)→/(x,(x,y)） ds一V1++dxd妙 3)如果曲面方程为 x=x(y,z),(y,)∈D: 或 y=y(x,2),(x,2)∈D: 也有类似的公式

说明: Dyz x  x( y,z), ( y,z) ( , ), ( , ) x z 或 y y x z x z D   也有类似的公式. 3) 如果曲面方程为 1) 对面积的曲面积分的计算归结为计算一个二重积分! 2) 化为二重积分中的三个变化 Σ Dxy f(x,y,z) f x y z x y  , , ( , ) dS 2 2 1 d d x y   z z x y ( , , ) Dx y  f x y 

例1.计算曲面积分 其中∑是球面x2+y2+z2 =a2被平面z=h(0<h<ad截出的顶部 解：：z=√a2-x2-y2,(x,y)eDy Dyx2+y2≤a2-h2 1+经+ 2-x2-y -川。o -2a-ne2-)]-2al

Dxy 例1. 计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x  y  a  h 2 2 1 x y  z  z d S z     2π 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 π 2 2 2 2 a h a a r         2 2 2 d d Dx y a x y a x y        2 2 0 2 2 a h d a r r r  x z y h a

例2.计算川xyzdS,.其中Σ是由平面x+y+z=1与 坐标面所围成的四面体的表面 解：设∑1，∑2，∑，∑4分别表示∑在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分，则 原式= (∬+∬+∬+0)ds 2:=1-x-.6.meD,062 =3可xds1-x-Wd=320

例2. 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4     , , ,    4 x yz S d    : 1 , 4  z   x  y          0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy     x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3  与   1 0 3 x dx 1 2 3 4          xyz dS  原式  = 分别表示 在平面 z y x 1 1 1