《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-1 常数项级数的概念和性质

第十二章 无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具{ 研究性质 数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 傅氏级数 第十二章

第一节 第十二章 常数项级数的桡念和性质 一、 常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 第一节 第十二章

一、常数项级数的概念 引例1，用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,)边形，设a表示 内接正三角形面积，4，表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 ao+a +az+.+an n→o时，这个和逼近于圆的面积A」 即 A=a0+a1+a2++an+

一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A .  设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

定义：给定一个数列4,4，巧，.，4n,.将各项依 00 次相加，简记为 ∑4n 即 n=1 ∑ un=山1+u2+13+.+4n+ n=l 称上式为无穷级数，其中第n项4n叫做级数的一般项， 级数的前n项和 Sn 4k=山1+2+3++un 称为级数的部分和.若1imSn=S存在，则称无穷级数 n→o0 收敛，并称S为级数的和，记作

定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作

0 ∑4n n= 若imSn不存在，则称无穷级数发散 n→o0 当级数收敛时，称差值 I =S-Sn=un+l +unt2+ 为级数的余项.显然 limr =0 n→00

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然

例1.讨论等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+ag+ag2++ag”+.(a≠0)） 1n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则部分和 S.=atag+ag2+.+ag"-1=a-ag" 1-q 当q1时，由于1img”=oo,从而lim S=o, n-→o∞ n-→0 因此级数发散

例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n    1 从而 q a n n S    1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a  从而 lim   ,  n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为

2).若9=1，则 ag”,(a≠0 11=0 当q=1时，Sn=na→o,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1）n-a+. n为奇数 因此 s.- n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散 n→00 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn  n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散

例2.判别下列级数的敛散性 n+1 00 () (2) n n=l nnip 解：(1) s=ln子+n+ln++ln =d2-ly)++n+)- =ln(n+1)-→o(n->o） 技巧： 所以级数(1)发散， 利用“拆项相消”求和

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn  ln  (ln 2  ln1)  (ln3 ln 2)  ln(n 1)  ln n  ln(n 1)   (n  ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3  ln 3 4  ln n n 1 ln  

(2) n.(n+1) (-》++ =1- →1 n+1 (n->∞) 所以级数(2)收敛，其和为1 技巧： 利用“拆项相消”求和

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1           n n Sn          2 1 1 1 1 1    n 1 ( n  ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .         3 1 2 1         4 1 3 1           1 1 1 n n  技巧: 利用 “拆项相消” 求和

例3.判别级数 n(1-2 的敛散性 n=2 解： -)=n=ms=ma》-2nn k=2 =[ln3+1nl-2n2]+[ln4+ln2-2ln3]+[ln5+ +ln3-2ln4]+.+[n(n+1)+ln(n-l)-2lnn] =-In2+In(n+1)-Inn In(1+)-In2 .limS,=-ln2,故原级数收敛，其和为-ln2. n->o0

例3. 判别级数 的敛散性 . 解:  ln(n 1)  ln(n 1)  2ln n ln(1 ) ln 2 1    n 故原级数收敛 , 其和为