《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-2 偏导数

第九章 第二节 偏导数 一、偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数

第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章

偏导数定义及其计算法 在研究一元函数时我们从研究函数的变化率 入了导数的概念。对于多元函数，同样需要讨论它 的变化率问题。多元函数的自变量不止一个，但实 际问题常常研究在其它自变量不变的条件下，只考 虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化 率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念。 以二元函数z=几x,y)为例，如果只有自变量x变 化，而自变量y固定（即看做常量），这时它就是关于 x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数 z=x,y)对于x的偏导数，即有如下定义：

一、 偏导数定义及其计算法 在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引 入了导数的概念。对于多元函数，同样需要讨论它 的变化率问题。多元函数的自变量不止一个，但实 际问题常常研究在其它自变量不变的条件下，只考 虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化 率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念。 以二元函数z=f(x,y)为例，如果只有自变量x变 化，而自变量y固定(即看做常量)，这时它就是关于 x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数 z=f(x,y)对于x的偏导数，即有如下定义：

定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,o)的某邻域内 极限 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo,Yo) △x→0 △x 存在，则称此极限为函数二=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的偏导数，记为 of 0x(o0)”0x(x0,%)°三x(w) f(xo-Yo). 注意：(x0,V0) =。m (xg土△x,6)-(x0,0 f(xo)=lim fot△x)-(x0△xdy △x-→0 f(vo) dxx=xo dx

定义1. z  f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x  0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f   x  x 0 0x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 )  ( ) ( ) 0 0 f x  x  f x 0 x lim x x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y   x f x x y f x y x        ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :

同样可定义对y的偏导数 f(o,Yo)=lim f (xo,yo+Ay)-f (xo>o) △y→>0 △y d( y=Yo 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 Oz of 8x 8x zx,f(x,y) 5, ay'Oy

同样可定义对 y 的偏导数 lim  0  y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) y f x y ( , ) 0 f x ( , ) 0  f x y 记为 y  y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z    

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=f(x,y,)在点（心，y,)处对x的 偏导数定义为 fx(x,z）=lim f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) △x>0 △x fv(x,y,2)=? f(x,y,z)=?

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x  x f (x, y,z)  ? y f (x, y,z)  ? z x 偏导数定义为

例1.求z=x2+3xy+y在点(1,2)处的偏导数. 是-2+、影 元=3x+2y 0.23)-21+32=8 0z 0yl,2)=31+22=7. 例2，求z=x2sin2y的偏导数 =2xsin2y, 8z 8x 0色=2x2c0s2y

例1 . 求 2 2 z  x  3xy  y    x z x (1,2) z    在点(1 , 2) 处的偏导数. 2x  3y ,    y z 3x  2y y (1,2) z   例2 . 求 2 z x y  sin 2 的偏导数.    x z 2 sin 2 , x y    y z 2 2 cos 2 . x y

例3.设z=x'(x>0,且x≠D,求证 x 0z 1 0z -2 y8x InxOy 证： Oz z 0x 0y =xY Inx x0z 1 0z =xy+x'=22 yOx InxOy 例4. 求r=x2+y2+z2 的偏导数 2x 解： Or x 2x2+y2+z Or Or 0y 0z r

例3. 设 z  x y ( x  0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1       证: y z x x z y x       ln 1 例4. 求 的偏导数 . 解:    x r 求证  2z 2 2 2 2 x  y  z 2x r x  r z z r   

二元函数偏导数的几何意义： of y=y。 x=X0 是曲线 :=(x,在点M处的切线 y=Yo MoTx对x轴的斜率 y=Yo y=yo 是曲线 z=f(x,y》在点4处的切线MoT对y轴的 x=xo 斜率

二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y            0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y       是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 0x Ty y x z O Tx 0y 对 y 轴的 M0 ( , ) 0 0 x y

注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续 ,x2+y2≠0 例如，=(x,)=了x2+y 0 x2 +y2=0 显然 ,0)=dyf0.y=0=0 在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续！

函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如,             0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y  0  0 注意： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

二、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 0z 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导 数 5=fx(xy方 Oxay )= 0yOx

二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x  y      若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z   ( ) y z x     ( ) x z y     ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y  y y        则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z    f (x, y);  xx x y z     2 f (x, y)  x y ( , ); 2 f x y y x z  y x     x  数: