《高等数学》课程教学资源（空间解析几何教学课件）5-3直线及其方程_5-3直线及其方程

第三节 直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 三、平面束 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线及其方程 三、平面束

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x+Biy+Cz+D=0 A2x+B2y+C22+D2=0 (不唯一) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、空间直线方程 x y z o 0 A1x + B1 y + C1z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程 已知直线上一点M,(x,o,20)和它的方向向量 3=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,) 则 MoM/lS M(x,y,2) 故有 x-0=y-0= 2-20 m n p M(x0,y0,20） 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 X=X0 (y=Yo HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

单选题1分 ⊙设置 过点(0,0,0)且方向向量为(3,2,1)的直线方程 是() x-3=y2=-1 3 2 月 2 二3 HIGH EDUCATION PRESS 提交

过点（0,0,0）且方向向量为（3,2,1）的直线方程 是（） A B C D 提交 3 2 1 3 2 1 x y z − − − = = 3 2 1 x y z = = 0 1 2 x y z = = 1 2 3 x y z = = 单选题 1分

3.参数式方程 设 x-x0=y-0=-0=i m n 得参数式方程 x=xo+mt y=y0+nt z=20+p1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + pt 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解先在直线上找一点. 令x=1,解方程组 y+2=-2,得y=0,=-2 1y-3z=6 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量 交已知直线的两平面的法向量为 h1=(1,1,1),2=(2,-1,3) s1n,sLn2:s=元×2 号HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0, z = −2 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s . 1 2  s ⊥ n ,s ⊥ n 1 2  s = n  n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

五方 s=m×n2= 111 =(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为 x-1=y z+2 4 1 -3 x=1+4i 参数式方程为 y=-t z=-2-31 解题思路：先找直线上一点 再找直线的方向向量， HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4,−1,− 3) 1 2 s = n  n 2 1 3 1 1 1 − = i j k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面问的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 =(m1,h1,1),S2=(m2,n2,p2） 则两直线夹角φ满足 乐 cosO mimz +nn2 pip2 m+n+Pm2 +n2"P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m + n n + p p 2 1 2 1 2 1 m + n + p 2 2 2 2 2 2 m + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1s 2s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有： (①L11L2→子1 > m1m2+n1n2+p1p2=0 (2)L1L2→315 m1=乃=P1 m2 n2 P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别有: 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L 0 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 s ⊥ s 1 2 s //s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

填空题1分 ⊙设置 两直线 m=填空 号g2-湘巨垂直，则 12’2 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 HIGH EDUCATION PRESS 作答

两直线 相互垂直，则 m= [填空1] 作答 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 1 2 1 , 1 2 2 8 3 x y z x y z m − − + = = = = 填空题 1分