《高等数学》课程教学资源（空间解析几何教学课件）5-2平面及其方程_5-2平面及其方程

第二节 第五章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的截距式方程 三、平面的一般方程 四、平面与平面、点与平面的关系 机动目录上页下页返回结束

第二节 一、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四 、平面与平面、点与平面的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第五章 二、平面的截距式方程

平面的点法式方程 通过点M,(x0,yo,2, 设平面 垂直于非零向量=(A,B,C),一法向量 任取M(x,y,)∈Π， →MMLn →MoM,n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-x0)+B(y-yo)+C(2-2o)=0

 z y xo M0 n ( , , ) 0 0 0 0 通过点 M x y z 垂直于非零向量 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 设平面  M ( x , y , z )   , n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 任取 法向量 一、平面的点法式方程

单选题1分 回设置 过点(2，-3，-1)以=(1，-2,3为法向量的平 面方程是() 2x-y+3z=0 x-2y+3z=5 x-2y+3z=0 x-2y+3z=-5 提交

过点（2，-3，-1）以 为法向量的平 面方程是（） 2x-y+3z=0 x-2y+3z=5 x-2y+3z=0 x-2y+3z=-5 A B C D 提交 单选题 1分

例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n n=Ma2×MM M M3 司万飞 Π -34-6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈·，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例1.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 般情况：过三点Mk(xk,y%,2k)(=1,2,3) 的平面方程为 x-x1y-y乃 2-21 x2-1y2-y1 22-21 =0 x3-X1 3-123-1 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

分析：利用三点式 =0 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+2ab=0 即 bcx acy +abz abc

(x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c

二、平面的截距式方程 特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c〉 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a bc 此式称为平面的截距式方程

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 二、平面的截距式方程

三、平面的一般方程 次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2*0) 满足方程的任一组数X0,y0,20 Ax0+By0+C20+D=0 以上两式相减 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 平面 法向量为n=(A,B,C) 过点M(xo,y0,20) ·注三元一次方程表示一个平面。 在平面的一般方程中，x、八、的系数即为法向量的坐标

三元一次方程 以上两式相减 Ax + B y + Cz + D = 0 满足方程的任一组数 , , , 0 0 0 x y z 0 A x0 + B y0 + C z0 + D = ( 0) 2 2 2 A + B + C  平面 法向量为 n = (A,B,C) 过点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z ⚫注 在平面的一般方程中,x、y、z的系数即为法向量的坐标 三元一次方程表示一个平面. 三、平面的一般方程

Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C2+0 >特殊情形 。D=0,Ax+By+Cz=0 通过原点的平面； ·A=0,By+Cz+D=0 平行于x轴的平面： ·A=0,B=0Cz+D=0 平行于xoy面的平面；

➢特殊情形 • D = 0, A x + B y + C z = 0 通过原点的平面; • A = 0, B y + C z + D = 0 • A = 0, B = 0 C z + D = 0 A x + By + C z + D = 0 ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  平行于x轴的平面; 平行于xoy面的平面;

例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By + Cz = 0 代入已知点 (4, − 3, −1) 得 化简,得所求平面方程