《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）极限运算法则

第五节极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、极限的复合运算法则 D

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节极限运算法则 一 、无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、极限的复合运算法则

山东农业大 一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小. 证：考虑两个无穷小的和.设1ima=0,1imB=0, x→x0 x->xo ε>0,361>0，当00,当0<x-x0<62时，有B<号 取δ=min{61,62},则当0<x-xo<6时，有 a+B≤+B|<号+号=8 因此 lim (a+B)=0. x→x0 这说明当x→xo时，+B为无穷小量 类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  = min 1 ,  2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0  x − x0    +    +  2 2    + =  因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数u在xo的某一去心邻域{x00,存在6>0，使当 0<x-xo<时，有a<M. 取min{6,},则当0<x-xl<6时，有 lualua<s 这说明ua也是当x→x时的无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|x−x0 | 1 }内 有界 即M0 使当0|x−x0 |1时 有|u|M 又设是当x→x0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|x−x0 |2时 有||/M  取=min{1  2 } 则当0|x−x0 | 时 有 |u|=|u|||  这说明u 也是当x→x0时的无穷小 证明 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

苏本堂 例1.求l1im sinx x→00 解：，sinx≤l 1im=0 x→0X sinx 利用定理2可知lim x>001X sinx 说明：y=0是y= 的渐近线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线

二、极限的四则运算运算法则 定理3 如果limx)片A,1img(x)=B,那么 (1)lim[/x)±g(x)]=limx)壮limg(x)FA±B. (2)lim fx)g(x)=lim f(x)lim g(x)=4.B. (3)lim)_lim f(x)A g(x)lim g(x)B (B0)】 推论1如果1im几x)存在，而c为常数，则 lim[c:fx)]=c-limf(x). 推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则 lim[fx)]"=[limf(x)]

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、 极限的四则运算运算法则 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) 推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n  定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB

证：()因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,8(x)=B+B (其中，B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+O)±(B+B) =(A±B)+(±B) 由定理1可知士B也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知结论(1)成立. (2)f(x)g(x)=(A+x)(B+B) =AB+(AB+Ba)+aB 由定理2可知AB和B是无穷小，再由定理1可知 (AB+Ba)+B是无穷小，从而结论(2)成立 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证: (1)因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B +  (其中  ,  为无穷小) 于是 f (x)  g(x) = (A+ )  (B +  ) = (A B) + (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知结论(1)成立 . (2) ( ) ( ) f x g x  = + + ( )( ) A B   = + + + AB A B ( )    由定理 2 可知 A 和 B 是无穷小, 再由定理 1 可知 ( ) A B    + + 是无穷小, 从而结论(2)成立. 返回

数列极限的四则运算法则 定理4设有数列{xn}和{yn.如果 lim x=A,lim yn=B, n->oo 那么 (l)lim(xn±yn)=A±B; n->co (2)lim (ny)=A.B; (3)当n≠0(0m=1,2,)且B≠0时，limh=4 n-yn B 不等式 定理5如果(x)≥x),而lim(x)=a,lim(x)=b,那么a2b

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 数列极限的四则运算法则 定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab 不等式 (1) xn yn A B n  =  → lim ( )  (2) xn yn A B n  =  → lim ( )  (3)当 0 n y (n=1 2   )且 B0 时 B A y x n n n = → lim  定理4 设有数列{xn }和{yn } 如果 那么 xn A n = → lim  yn B n = → lim 

等数学 主计 苏本 求极限举例 例1求lim(2x-1). x->l lim (2x-1)=lim 2x-lim 1=2 lim x-1=2.1-1=1. x→1 x1 x→1 ☐讨论若P(x)=ax"+axn-1+.+an-x+an,则1imP(x)=? x→x0 □提示limP(x)=P(x). x-→x0 例2求lim x3-1 x→2 x2-5x+3 lim (x3-1) 解 lim x3-1 x→2 23-17 x→2 x2-5x+3-1 im(x2-5x+3)-22-10+3 3 x→2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 求极限举例 讨论 提示 例 1 求 lim (2 1) 1 − → x x 例1  解 若 n n P(x)=a0 x n +a1 x n−1 +  +a −1 x+a  则 lim ( ) ? 0 = → P x x x lim ( ) ( )0 0 P x P x x x = →  解 lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  例 2 求 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例2  解 解  lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x 

例3求lim x-3 x→3 x2-9 解 lim x-3 x-3 .=lim 1 x-→3 x2-9 lim x→3 (x-3)(x+3) x3x+3 lim 1 x>3 1 lim(x+3)6 x→3 例4求lim 2x-3 x1x2-5x+4 解因为lim x2-5x+4_12-5-1+4=0, x-→1 2x-3 21-3 根据无穷大与无穷小的关系得 lim 、 2x-3 =00. x-1x2-5x+4

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 例 例 3 3 求 9 3 lim 2 3 − − → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 例 例 4 4 求 5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x  解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x  5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x = 根据无穷大与无穷小的关系得 解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x 因为 

讨论 有理函数的极限lim P(x) x→X0 e(x) 提示 当Q(xo)≠0时，lim P(x)P(xo) x→xoQ(x)Q(x) 当Q(xo)=0且P(xo)≠0时，lim P(x) x→x0Q(x) 当Qxo)=P(x)=0时，约去分子分母的公因式(x-x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 •讨论 •提示 当Q(x0 )=P(x0 )=0时 约去分子分母的公因式(x−x0 )  有理函数的极限 ? ( ) ( ) lim 0 = → Q x P x x x 当Q(x0 )  0 时 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q x P x Q x P x x x = →  当Q(x0 ) = 0 且 P(x0 )  0 时 =  → ( ) ( ) lim 0 Q x P x x x 