《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）导数概念

第二章导数与微分 第一节导数概念 第二节函数的求导法则 第三节高阶导数 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节函数的微分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节 函数的微分

方本堂 第一节导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系

一、引例 1.变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t) 则t到t的平均速度为 f(to) f(t)-f(to) 0 →S V= to t t-t0 而在t。时刻的瞬时速度为 f(t)-f(to) y lim t→to t-to

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t s o ( )0 f t f (t) t

本 2.曲线的切线斜率 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y=f(x) 割线MN的极限位置MT (当p→时) 切线MT的斜率 k=tana lim tan p→a f(x)-f(xo) 割线MN的斜率tanp= x-X0 lim f(x)-f(xo) x→x0 x-X0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 x y o y = f (x) C 2. 曲线的切线斜率 曲线   N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率    lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x

to) 瞬时速度y=lim f(t)-f(to) t→to t-to y=f(x) 切线斜率k=lim f(x)-f(xo) x→x0 x-X0 C 两个问题的共性： oxo xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 线密度是质量增量与长度增量之比的极限 变化率问题 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 两个问题的共性: s o 0 t ( )0 f t f (t) 瞬时速度 t 切线斜率 x y o y = f (x) C   N T 0 x M x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 

山东农业大 二、导数的定义 定义1.设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义， 若 limf)-fxo）=lim Ay △y=f(x)-f(x) x→x0 x-X0 △x→0△X △x=X-X0 存在，则称函数f(x)在点x,处可导，并称此极限为 y=f(x)在点x的导数.记作： dy yx=0;f'(x)； df(x) dxx=xo dx x=X0 即 x=o=f(xo)=lim △y △x→0△X lim f(x+△x)-f(xo) lim f(xo+h)-f(xo) △x-→0 △x h-→0 h

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x   =  →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0  x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y =  ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y =  ( ) 0 = f  x x y x   =  →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数

运动质点的位置函数s=f(t) 在to时刻的瞬时速度y=im f0-fo）=fto) t→to 1-to 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 k=mf)-f）=f'0） x→x0 x-Xo 注：limf)-fxo）=1im △y x→x0 x-Xo △x-→0△x 若上述极限不存在，就说函数在点x不可导， lim △少=0，也称f(x)在xo的导数为无穷大， △x→0△X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 运动质点的位置函数 s = f (t) 在 t 0 时刻的瞬时速度 曲线 C : y = f (x) 在 M 点处的切线斜率 ( ) 0 = f  t ( ) 0 = f  x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x lim , 0 =     → x y x 就说函数 也称 在 的导数为无穷大 . 注:

山东农业 •导函数的定义 如果函数y=孔x)在区间内每一点x都对应一个导数值， 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=x)的导函数， 简称导数，记作 y.f, 或型 dx 易见 L.f'(x)=f'(x)x=: 求导数的步骤 (1)求增量 y=f(x+△x)-f(x)； (2)算比值 Ay=fx+△)-fw: △x △x (3)求极限 y'=lim △y △r→0△x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 •导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作 y   f (x)  dx dy  或 dx df (x)  易见 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x =  =  • 求导数的步骤 y = f (x + x) − f (x); (1)求增量 ; ( ) ( ) x f x x f x x y  +  − =   (2)算比值 lim . 0 x y y x    =  → (3)求极限

例1.求函数f(x)=x”(n∈N)在x=a处的导数. 解：f'a)=limf)-fa=lim”-a x→a x-a x→ax-a =lim(x-l+ax"-a2x3.+am-1)=na-I x→a 说明： 对一般幂函数y=x(4为常数) (x“)y=4x4 -y-2 ()=xy=-1-1= X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求函数 解: x a f x f a − ( ) − ( ) x→a = lim x a x a n n x a − − = → lim lim( x→a = n−1 x −2 + n a x 2 −3 + n a x + ) −1 + n a 说明： 对一般幂函数  y = x (  为常数) 1 ( ) −  =   x  x 例如， ( x ) ( ) 2 1 = x  2 1 2 1 − = x 2 x 1 = ( )  x 1 ( ) 1 =  − x −1−1 = −x 2 1 x − =

山东农业大 等数雪 苏本堂 例2.求函数f(x)=sinx的导数 解：令h=△x,则 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) = im sin(x+h)-sinx h->0 h h->0 h h、 h lim 2cos()sin/h h-→0 =limcos(x+ h、 sin2 COSx h-0 即 (sinx)'=cosx 类似可证得 (cosx)'=-sinx

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 h x h x h sin( ) sin lim 0 + − = → 例2. 求函数 的导数. 解: 则 h f (x + h) − f (x) 0 lim → = h 0 lim → = h ) 2 2cos( h x + ) 2 lim cos( 0 h x h = + → = cos x 即 (sin x) = cos x 类似可证得 (cos x) = −sin x