《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）闭区间上连续函数的性质

东农 人 第十节闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十节闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理

山东农业大 本 一、 最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值. 即：设f(x)eC[a,b],则35,52∈[a,b],使 f(s)=min f(x) a≤x≤b yy=f(x) f(2)=max f(x) a≤x≤b (证明略) 0a5152bx 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x)  1  2 则 , [ , ],  1  2  a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  xb  = ( ) max ( ) 2 f f x a xb  = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点

例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1,0≤x<1 1,x=1 -x+3,1<x≤2 也无最大值和最小值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如

推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=f.m=mfa到 xEla,bl M y=f(x) 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 m 0a5152bx 二、介值定理 定理2.（零点定理）)∈C[a,],y=) 且f(a)f(b)至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0.(证明略)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o b x y a y = f (x)  1  2 m M 推论. 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2.( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 x y o a b y = f (x)  ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界

定理3.（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C. y=f(x) 证：作辅助函数 B (x)=f(x)-C 则p(x)∈C[a,b],且 o a p(a)(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b),使p(5)=0, 即 f(5)=C 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C  使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值

办本堂 例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-20, 则(3,1)内必有方程的根 取[2,1]的中点x=,f)<0, 则(，)内必有方程的根；. 可用此法求近似根

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x = ( ) 0, 8 1 2 1 f =  ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x = ( ) 0, 4 3 f  ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1  可用此法求近似根. 二分法 4 3 2 0 1 1 x + − + − 在区间 内至少有 则 则

例2.设f(x)在[a,b]上连续，且恒为正，证明： 对任意的，2∈(a,b),出0,.F()F(x2)<0, 故由零点定理知，存在5∈(1，x2),使F(5)=0,即 f(5)=f(x)f(x2)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 设 f (x) 在 上连续 , 且恒为正 , 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 ( ) ( ) 1 2 = − f x f x 2 1 2 [ f (x ) − f (x )]  0 故由零点定理知 , 存在 使 即 当 时, 取 或 , 则有 证明:

山东农业大 等数学 主讲人：苏本堂 作业：p-74习题1-10 1,2;3,5

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：p-74习题1-10 1, 2;3;5